Enunciado

Um paralelogramo ABCD tem um lado contido na reta r : X = 1,0 , 1 + λ 1,1 , 1 e um vértice no plano π : x - 3 y + z = 5 . Sendo A = 0 , - 1,0 e B = - 1,0 , 1 , determine C e D .

Passo 1

Para resolver esta questão, precisamos lembrar que um paralelogramo possui lados opostos paralelos e ângulos congruentes!

Bom, a questão nos diz que dois pontos pertencem a reta r e um ponto pertence ao plano π . Nosso primeiro trabalho então é checar se os pontos A e B dado pertencem a algum deles.

Portanto, começando pela reta r e pelo ponto A , temos:

0 , - 1,0 = 1,0 , 1 + λ 1,1 , 1

Se λ = - 1 , temos

0 , - 1,0 = 0 , - 1,0

Portanto, o ponto A realmente pertence a reta r ! Já para o ponto B , temos:

- 1,0 , 1 = 1,0 , 1 + λ 1,1 , 1

Então, não existe valor de λ que satisfaça a relação acima. Portanto, B não pertence a reta r . Agora, vamos checar se B pertence ao plano:

- 1 + 0 + 1 = 5

0 = 5

Eita! O ponto B não pertence ao plano!

Então, precisamos descobrir um ponto do plano e um ponto da reta que fechem um paralelogramo!

Passo 2

E agora, o que fazer? Vamos assumir que o ponto C pertence a reta e o ponto D ao plano, só para facilitar a nossa associação.

Entramos em uma discussão, será se AB é lado ou diagonal? Vamos começar assumindo que ele é lado.

Queremos descobrir as coordenadas de um ponto C que pertence a reta r . Este ponto terá coordenadas C = 1 + λ , λ , 1 + λ .

Como C D é um lado do paralelogramo e este lado será paralelo ao lado A B , então, sabemos que a seguinte relação é verdadeira:

D = C ± A B →

Assumindo que D 1 = C + A B →  

D 1 = 1 + λ , λ , 1 + λ + - 1,1 , 1

D 1 = λ , 1 + λ , 2 + λ

Como D 1 pertence ao plano, ele satisfaz a sua equação. Portanto,

λ - 3 - 3 λ + 2 + λ = 5

λ = - 6

Portanto, D 1 = - 6 , - 5 , - 4 e as coordenadas de C 1 = - 5 , - 6 , - 5 .

Fazendo o mesmo para o caso D 2 = C - A B → ,

D 2 = 1 + λ , λ , 1 + λ - - 1,1 , 1

D 2 = 2 + λ , - 1 + λ , λ

Como D 2 pertence ao plano, ele satisfaz a sua equação. Portanto,

2 + λ + 3 - 3 λ + λ = 5

λ = 0

Portanto, temos D 2 = 2 , - 1,0 e C 2 = 1,0 , 1 .

Com isto, finalizamos o caso da aresta A B ser um lado.

OBS: a segunda solução correta é esta, e não a do final do livro.

Passo 3

Só que vejam só, temos uma última possibilidade a verificar. Imaginem agora que o ponto C pertence tanto a reta quanto ao plano! Isto pode ocorrer pois a reta e o plano são transversais!

Então, vamos substituir as coordenadas de um ponto da reta na equação do plano e verificar qual o valor de λ que satisfaz a relação. Logo,

1 + λ - 3 λ + 1 + λ = 5

2 - λ = 5

λ = - 3

Portanto, C 3 = - 2 , - 3 , - 2 .

Agora, vamos descobrir as coordenadas de D 3 sabendo que:

D = C ± A B →

Portanto, vamos obter:

D = - 2 , - 3 , - 2 ± - 1,1 , 1

Então, temos D 3 = - 3 , - 2 , - 1 e D 4 = - 1 , - 4 , - 3 .

Passo 4

Vamos analisar agora se A B for uma diagonal. Neste caso, sabemos que as arestas A C e D B são paralelas e de mesmo comprimento.

Para esta questão, temos duas possibilidades a serem analisadas: o ponto C pertence somente a reta ou o ponto C pertence tanto a reta quanto ao plano. Se o segundo caso ocorrer, significa dizer que o ponto D não pertence ao plano também, mas somente ao espaço.

Independentemente da possibilidade a ser analisada, sabemos que a seguinte relação é uma verdade absoluta:

A C → = D B →

A C → = B - D

D = B - A C →

E como o vetor A C → é paralelo ao vetor r → , sabemos então que A C → = λ 1,1 , 1 .

Passo 5

É agora em que vamos separar a nossa análise. Vamos supor primeiramente que o ponto C pertence apenas a reta. Consequentemente, o ponto D pertence ao plano.

Então, seja D = x , y , z , ele pertence ao plano π se, e somente se, suas coordenadas forem dadas por D = x , y , 5 - x + 3 y . Substituindo estas coordenadas na relação que descrevemos no final do Passo 4, temos:

x , y , 5 - x + 3 y = - 1,0 , 1 - λ 1,1 , 1

x = - 1 - λ y = - λ 5 - x + 3 y = 1 - λ

Agora, basta resolver o sistema acima para descobrir os valores das incógnitas x , y e λ . Portanto,

x = - 1 - λ y = - λ 5 - x - 3 λ = 1 - λ ⟹ x = - 1 - λ y = - λ x = 4 - 2 λ ⟹ 4 - 2 λ = - 1 - λ y = - λ x = 4 - 2 λ ⟹ λ = 5 y = - λ x = 4 - 2 λ

Portanto, a solução do sistema é:

λ = 5 y = - 5 x = - 6

E assim, a nossa primeira possibilidade dos pontos C 1 e D 1 são D 1 = - 6 , - 5 , - 4 e C 1 = 5,4 , 5 .

OBS: as coordenadas de C 1 foram obtidas da relação A C → = λ 1,1 , 1 , o que implica que C = A + λ 1,1 , 1 .

Passo 6

Agora, vamos supor que o ponto C é exatamente o ponto de interseção da reta com o plano. Portanto, satisfaz ambas as equações.

Como calculamos anteriormente, ele será: C 2 = - 2 , - 3 , - 2 .

Agora, vamos descobrir o ponto D que satisfaz aquela verdade que escrevemos no final do Passo 3. Lembrando, ela foi:

D = B - A C →

Portanto,

D 2 = - 1,0 , 1 - - 2 , - 3 , - 2 - 0 , - 1,0

D 2 = - 1,0 , 1 - - 2 , - 2 , - 2

D 2 = 1,2 , 3

Resposta

Se A B for lado, temos as seguintes possibilidades:

C 1 = - 5 , - 6 , - 5   e   D 1 = - 6 , - 5 , - 4 C 2 = 1,0 , 1   e   D 2 = 2 , - 1,0 C 3 = - 2 , - 3 , - 2   e   D 3 = - 3 , - 2 , - 1 C 4 = - 2 , - 3 , - 2   e   D 4 = - 1 , - 4 , - 3

Se A B for diagonal, temos as seguintes possibilidades:  

C 1 = 5,4 , 5   e   D 1 = - 6 , - 5 , - 4 C 2 = - 2 , - 3 , - 2   e   D 2 = 1,2 , 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha equações planares para as retasa) r : X = 1 ,9 ,4 + λ ( - 1 ,1 ,- 1 ) b) r : X = - 7 ,1 ,10 + λ ( - 1 ,0 ,1 ) c) r : X = 1 ,0 ,- 2 + λ ( - 2 ,1 ,- 3 )
Demonstre a proposição anterior utilizando a Proposição 14-21.
Obtenha uma equação vetorial para a reta r .a) r :x - y - 3 z + 4 = 0 x + 2 y - 3 z - 5 = 0 b) r :x + 3 y - z = 2 x - 3 y + z = 4
O triângulo A B C é retângulo em B e está contido em π 1 : x + y + z = 1 . O cateto B C está contido em π 2 : x - 2 y - 2 z = 0 e a hipotenusa mede 2 6 3 . Sendo A = ( 0 ,1 ,0 ) , determine B e C (o s
Na noite de Natal, Michelle resolvia exercícios de Geometria Analítica enquanto esperava a chegada de Papai Noel. Em cada um dos itens, apresentamos as equações planares encontradas por Michelle e as