Enunciado

Determine se T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

T 1   :   R 3   →   R 3 é a dilatação de fator k   e T 1   :   R 3   →   R 3 é a

rotação em torno do eixo z por um ângulo θ .

Passo 1

A matriz que representa a dilatação por um fator k é:

T 1 = k 0 0 0 k 0 0 0 k

A matriz que representa a rotação em torno do eixo z é:

T 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos fazer o produto interno obedecem ao critério apresentado

T 1 ∘ T 2 = k 0 0 0 k 0 0 0 k ⋅ 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

T 1 ∘ T 2 = k 0 0 0 k * cos ⁡ θ - k * sen ⁡ θ 0 k*sen ⁡ θ k*cos ⁡ θ

e

T 1 ∘ T 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ k 0 0 0 k 0 0 0 k

T 1 ∘ T 2 = k 0 0 0 k * cos ⁡ θ - k * sen ⁡ θ 0 k*sen ⁡ θ k*cos ⁡ θ

Sim, T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

Resposta

Sim

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Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial dado. a) T:R 3→R 3 reflete cada vetor no plano x z e, em seguida,contrai esse vetor pelo fator k = 1 5 .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( x + 1 , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( x 2 , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( 3 x - 4 y , 2 x - 5 z ) .
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial dado. b) T:R 3→R 3 projeta cada vetor ortogonalmente sobre o plano x z e, em seguida, projeta esse vetor ortogonalmente sobre o plano x