Enunciado

Determine a equação geral do plano:

O plano contém os pontos A 1 , - 2,2   e   B ( - 3,1 , - 2 ) e é perpendicular ao plano π : 2 x + y - z + 8 = 0 .

Passo 1

E aí tudo joia?

Vamos lá, pra escrever a equação geral, a gente precisa de um vetor normal, certo?

Aqui a gente não tem...

Mas calma lá que a gente pode descobrir um usando dois vetores paralelos!

Primeiro olha só: se o nosso plano é perpendicular ao plano π , ele é paralelo ao vetor normal de π , certo? (Lembra que o vetor normal é perpendicular ao plano)

Então, o vetor ( 2,1 , - 1 ) , que é perpendicular a π , é paralelo ao nosso plano!

Passo 2

Falta um vetor paralelo, mas esse a gente faz pelos pontos:

A B → = ( - 4 ,   3 - 4 )

Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores paralelos, encontramos um vetor normal ao nosso plano😉

det ⁡ i → j → k → 2 1 - 1 - 4 3 - 4 = i → 1 - 1 3 - 4 - j → 2 - 1 - 4 - 4 + k → 2 1 - 4 3

= - i → + 12 j → + 10 k →

Temos um vetor normal então (uhuull!) que é o ( - 1,12,10 ) .

Nosso plano então é da forma:

- x + 12 y + 10 z + d = 0

Passo 3

Vamos achar esse d agora usando um dos pontos que a gente tem:

A ( 1 , - 2,2 )

- 1 + 12 - 2 + 10 2 + d = 0

d = 5

O nosso plano então é:

- x + 12 y + 10 z + 5 = 0

x - 12 y - 10 z - 5 = 0

E prontinho! 😉

Resposta

x - 12 y - 10 z - 5 = 0

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