Enunciado

Determine a equação geral do plano:

O plano contém os pontos A 4,1 , 0   e é perpendicular aos planos π 1 : 2 x - y - 4 z - 6 = 0     e     π 2 : x + y + 2 z - 3 = 0 .

Passo 1

E aí tudo joia?

Vamos lá, pra escrever a equação geral, a gente precisa de um vetor normal, certo?

Aqui a gente não tem...

Mas calma lá que a gente pode descobrir um usando dois vetores paralelos!

Primeiro olha só: se o nosso plano é perpendicular aos planos π 1   e   π 2 , ele é paralelo aos vetores normais de π 1   e   π 2 , certo? (Lembra que o vetor normal é perpendicular ao plano)

Então, o vetor ( 2 , - 1 , - 4 ) , que é normal a π 1 , é paralelo ao nosso plano, e o vetor ( 1,1 , 2 ) que é normal a π 2 , é paralelo ao nosso também!

Passo 2

Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores paralelos, encontramos um vetor normal ao nosso plano😉

det ⁡ i → j → k → 2 - 1 - 4 1 1 2 = i → - 1 - 4 1 2 - j → 2 - 4 1 2 + k → 2 - 1 1 1

= 2 i → - 8 j → + 3 k →

Temos um vetor normal então (uhuull!) que é o ( 2 , - 8,3 ) .

Nosso plano então é da forma:

2 x - 8 y + 3 z + d = 0

Passo 3

Vamos achar esse d agora usando um dos pontos que a gente tem:

A ( 4,1 , 0 )

2 4 - 8 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + d = 0

d = 0

O nosso plano então é:

2 x - 8 y + 3 z = 0

E prontinho! 😉

Resposta

2 x - 8 y + 3 z = 0

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Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano π , utilizando as informações dadas em cada caso.a) π contém A = ( 1 ,2 ,0 ) e é paralelo aos vetores u → = ( 1 ,1 ,0 ) e v → = ( 2 ,3 ,-
Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A = ( 1 ,1 ,2 ) e é paralelo ao plano π :x = 1 + λ + 2 μ y = 2 λ + μ z = - λ
Decomponha u → = ( 1 ,2 ,4 ) como soma de um vetor paralelo à reta r : X = 1 ,9 ,18 + λ ( 2 ,1 ,0 ) com outro paralelo ao plano π :x = 1 + λ y = 1 + μ z = λ - μ
São dados os sistemas de equações x = λ + 2 μ y = 1 + λ + 2 μ z = - λ - 2 μ x = x 0 + λ a + μ m y = y 0 + λ b + μ n z = z 0 + λ c + μ p a) Descreva o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,y ,z ) que sa
Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados.