Enunciado

Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos:

  1. x + 2y – 3z – 4 = 0 e x – 4y + 2z + 1 = 0

Passo 1

Analisando as equações dos planos dados, podemos inferir que os vetores normais a eles são, respectivamente:

N 1 = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

N 2 = ( 1 ,   - 4 ,   2 )

Passo 2

Fazendo a conta do produto vetorial entre os vetores normais aos planos:

v → =   N 1 × N 2

v → = det i j k 1 2 - 3 1 - 4 2

Realizando a conta do determinante:

v → = 4i – 3j – 4k – 2k – 2j – 12i

v → = - 8i – 5j – 6k

Passo 3

Nesse sentido, os planos se interceptam segundo uma reta com vetor diretor V = (-8, -5, -6). Para descobrirmos um ponto inicial da reta, podemos assumir o valor de uma das coordenadas para as equações dos planos. Se y = 0:

x + 2(0) – 3z – 4 = 0

x - 3z = 4

E

x – 4(0) + 2z + 1 = 0

x + 2z = -1

Montando um sistema com ambas as equações e resolvendo matricialmente:

1 - 3 1 2 4 - 1

Escalonando:

1 - 3 1 2 4 - 1 → 1 - 3 0 5 4 - 5 → 1 - 3 0 1 4 - 1 → 1 0 0 1 1 - 1

Dessa forma:

x = 1

z = 1

Assim, as equações paramétricas da reta são:

x =   x 0 + a t y =   y 0 + b t z =   z 0 + c t

Tal que (a, b, c) é o vetor diretor da reta e x 0 ,   y 0 ,   z 0 são as coordenas de um ponto presente na reta. Dessa forma:

x =   1 - 8 t y =   - 5 t z =   1 - 6 t

Resposta

x =   1 - 8 t y =   - 5 t z =   1 - 6 t

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Determinar n de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares: b) π 1 : x = 2 - h + 2 t y = 2 h + 3 z = t - 2 h + 1 e π 2 : 2 m x + 4 y - z - 1 = 0
Representar graficamente os planos de equações:b) 6 x + 4 y - 3 z - 12 = 0
Representar graficamente os planos de equações:3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0