Enunciado

Determine a isometria do R 3 cuja matriz em à base canônica é

1 2 1 2 0 0 0 1 x y z

Obs. x , y e z devem ser determinados numericamente.

Passo 1

Bora lá! Temos que descobrir apenas 3 números para resolver a questão. Que beleza!

E o melhor ainda é que vocês vão ver que são três números fáceis de serem calculados. Bem fáceis na verdade. Mas... temos um pequeno probleminha: saber como calcular.

Como são fáceis de calcular se a gente não sabe calcular? Exatamente esta é a questão.

Mas a gente resolve este problema fácil. Só precisamos de um pouco de teoria!

Vejam só, se uma transformação T é uma isometria, a sua matriz é automaticamente ortogonal T t = T - 1 . Tudo bem até aqui?

Agora que está a sacada. Se uma matriz é ortogonal, significa que as linhas (ou colunas) da matriz formam uma base ortonormal (vetores de norma unitária e ortogonais entre si) em relação ao produto interno usual.

Então, podemos dizer que os vetores 1 2 , 1 2 , 0 , 0,0 , 1 e x , y , z formam uma base ortonormal. Mas também podemos dizer que 1 2 , 0 , x , 1 2 , 0 , y e 0,1 , z também formam uma base ortonormal!

E será assim que iremos calcular. Vamos descobrir os valores de x , y e z tais que 1 2 , 0 , x , 1 2 , 0 , y e 0,1 , z forma uma base ortonormal!

Passo 2

Agora que a gente discutiu bastante sobre teoria (a parte mais difícil), vamos as contas.

Começaremos então para descobrir o valor de z , o qual é o mais fácil de todos. Como o vetor 0,1 , z tem norma unitária, temos:

| | 0,1 , z | | = 0 2 + 1 2 + z 2 = 1

1 + z 2 = 1

1 + z 2 = 0

z 2 = 0

Portanto, temos z = 0 . Estão vendo que foi o mais fácil de calcular? Hahaha!

Agora, vamos repetir o mesmo procedimento para 1 2 , 0 , x . Com isto, temos:

| | 1 2 , 0 , x | | = 1 2 2 + 0 2 + z 2 = 1

1 2 + x 2 = 1

1 2 + x 2 = 1

x = ± 1 2

Assim descobrimos dois valores de y que satisfazem a nossa relação.

Passo 3

Para descobrirmos o valor de y , poderíamos repetir o mesmo procedimento que fizemos com x para obter que y = ± 1 2 . Mas não vamos fazer esta abordagem, vamos fazer uma análise diferente pra obter a “ordem” correta dos valores de y com os de x .

Complicado? Talvez, vai ficar mais claro quando finalizarmos.

Bom, lembram que a base é ortonormal? Então, os vetores 1 2 , 0 , x e 1 2 , 0 , y são ortogonais em relação ao produto interno usual. Portanto,

1 2 , 0 , x , 1 2 , 0 , y = 0

1 2 + x y = 0

y = - 1 2 x

Portanto, quando x = 1 / 2 , temos y = - 1 / 2 . Já quando x = - 1 / 2 , temos y = 1 / 2 .

No final, x = ± 1 / 2 e y = ± 1 / 2 , só que temos um par de valores corretos. Então, temos que tomar cuidado na hora de escolhermos!

Bom, assim, finalizamos a nossa questão.

Resposta

Temos duas possibilidades de respostas. A primeira é x = 1 / 2 , y = - 1 / 2 e z = 0 . Já a segunda é x = - 1 / 2 , y = 1 / 2 e z = 0 .

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Quais dos seguintes operadores são ortogonais? T :R 2 → R 2 , T x , y = - y , - x
Quais dos seguintes operadores são ortogonais? T :R 3 → R 3 , T x , y , z = x , y cos ⁡ θ + zs e nθ , - ys e nθ + z cos ⁡ θ
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: cos ⁡ θ 0 - s e nθ 0 1 0 s e nθ 0 cos ⁡ θ