Enunciado

Seja T um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V . Se T u , u = 0 , para todo u ∈ V , mostrar que T = 0

Passo 1

Vamos lá a nossa questão!

Esta questão pode ser muito difícil se nós estudarmos a teoria de operadores auto-adjuntos apenas pela seção do livro. Na grande realidade, existe muito conteúdo por trás.

Além disto, ela tem um problema. Precisamos considerar que T u não é ortogonal a u . Vamos ter que assumir isto aqui para o resto da questão. E não só isso, também iremos assumir outras coisas.

Bom, então, precisaremos escrever uma base β = v 1 , v 2 , … , v n que corresponde aos autovetores do nosso operador T . Então, seja λ i o autovalor correspondente a cada autovetor, temos a seguinte relação como verdade:

T v i = λ i v i

Então, seja u ∈ V , podemos escrever da seguinte forma:

u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a n v n

Até aqui, a única relação diferente foi escrever uma base de autovetores.

Passo 2

Agora, vamos fazer o produto interno do nosso problema. Isto nos dá a seguinte relação:

T u , u = 0

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a n v n , a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a n v n = 0

λ 1 a 1 v 1 + λ 2 a 2 v 2 + … + λ n a n v n , a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a n v n = 0

Como a base β é uma base de autovetores, o produto entre vetores diferentes é igual a zero, sobrando apenas os vetores iguais entre si. Portanto,

λ 1 a 1 v 1 , a 1 v 1 + λ 2 a 2 v 2 , a 2 v 2 + … + λ n a n v n , a n v n = 0

λ 1 a 1 2 v 1 , v 1 + λ 2 a 2 2 v 2 , v 2 + … + λ n a n 2 v n , v n = 0

Como a base é de autovetores, a norma dos vetores é unitário. Portanto, temos:

λ 1 a 1 2 + λ 2 a 2 2 + … + λ n a n 2 = 0

Passo 3

Para finalizarmos a questão, temos que fazer uma outra consideração. Vamos assumir que todos os autovalores são maiores ou iguais a zero.

Com isto, a nossa expressão, a qual era:

λ 1 a 1 2 + λ 2 a 2 2 + … + λ n a n 2 = 0

Só será igual a zero, se os coeficientes a 1 , a 2 , … , a n são iguais a zero.

Com isto, verificamos que T u = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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