Enunciado

Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^3 -> R^3 , T (x , y , z) = (z , x , - y)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0 , 0) = (0 , 1 , 0)

T (0 , 1 , 0) = (0 , 0 , - 1)

T (0 , 0 , 1) = ( 1 , 0 , 0 )

Assim,

[T] = [[[0,0,1],[1,0,0],[0,-,1,0]]]

Passo 2

Para inverter a matriz, vamos usar o método da matriz expandida:

[[[0,0,1],[1,0,0],[0,-,1,0]],[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Trocando as linhas:

[[[1,0,0],[0,-,1,0],[0,0,1]],[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[0,1,0],[0,0,-,1],[1,0,0]]]

Portanto,

[T]^(- 1) = [[[0,1,0],[0,0,-,1],[1,0,0]]]

Passo 3

Para achar a transposta, basta inverter linha com coluna:

[T]^t = [[[0,1,0],[0,0,-,1],[1,0,0]]]

Como temos [T]^t = [T]^(- 1) , T é ortogonal.

Resposta

Sim

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