Enunciado

Determine o ponto P na reta r : X = 0 ,   2 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   0 ) e o ponto Q na reta s : X = 1 ,   2 ,   0 + λ ( 0 ,   0 ,   1 ) , tais que a reta P Q forme ângulos de 45 ° com r e de 60 ° com s .

Passo 1

Antes de fazer qualquer coisa, vamos trocar o parâmetro λ da reta s , só pras duas não ficarem com o mesmo parâmetro sacou?:

s : X = 1 ,   2 ,   0 + μ ( 0 ,   0 ,   1 )

Agora sim, um ponto genérico da reta r é P = ( 0 ,   2 + λ ,   0 ) e um ponto genérico da reta s é Q = ( 1 ,   2 ,   μ ) .

Logo, a reta P Q vai ter vetor diretor genérico P Q → :

P Q → = Q - P = ( 1 ,   - λ ,   μ )

Passo 2

O vetor diretor de r é r → = ( 0 ,   1 ,   0 ) e o vetor diretor de s é s → = ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Queremos que P Q → forme 45 ° com r → :

cos ⁡ 45 ° = 1 ,   - λ ,   μ . 0 ,   1 ,   0 1 ,   - λ ,   μ . ( 0 ,   1 ,   0 )

2 2 = - λ 1 + λ 2 + μ ² . 1

2 2 = - λ 1 + λ 2 + μ ²   ( I )

E também queremos que P Q → forme 60 ° com s → :

cos ⁡ 60 ° = 1 ,   - λ ,   μ . 0 ,   0 ,   1 1 ,   - λ ,   μ . ( 0 ,   0 ,   1 )

1 2 = μ 1 + λ 2 + μ ² . 1

1 2 = μ 1 + λ 2 + μ ²   ( I I )

Passo 3

Do numerador de ( I ) , temos que λ ∝ ± 2 , e em ( I I ) , temos   μ ∝ ± 1 .

Então temos as soluções:

P = 0 ,   2 + 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   1 )

P = 0 ,   2 - 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   1 )

P = 0 ,   2 - 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

P = 0 ,   2 + 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

Resposta

Temos as seguintes soluções:

P = 0 ,   2 + 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   1 )

P = 0 ,   2 - 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   1 )

P = 0 ,   2 - 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

P = 0 ,   2 + 2 ,   0       e         Q = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

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Seja θ = a n g ( r ,s ) . Calcule s e nθ nos casos (a) e (b) e cos ⁡ θ nos casos (c) e (d):c) r : x + 3 z = 7 y = 0 s : x - 4 y - 2 z = 5 y = 0
Seja θ = a n g ( r ,s ) . Calcule s e nθ nos casos (a) e (b) e cos ⁡ θ nos casos (c) e (d):d) r : x = 1 - y 2 = z 3 s : 3 x + y - 5 z = 0 x - 2 y + 3 z + 1 = 0
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Seja θ = a n g ( r ,s ) . Calcule s e nθ nos casos (a) e (b) e cos ⁡ θ nos casos (c) e (d):a) r : X = - 5 2 ,2 ,0 + λ 1 2 ,1 ,1 s : z = 3 x = 2 y - 16
Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P = ( 0 ,2 ,1 ) e forma ângulos congruentes com as retas r : X = 0 ,0 ,0 + λ ( 1 ,2 ,2 ) , s : X = 1 ,2 ,3 + λ ( 0 ,3 ,0 ) e t : X = 1 ,2 ,0 + λ