Enunciado

Sejam P = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) , Q a projeção ortogonal de R = ( - 1 ,   - 1 ,   - 2 ) sobre π : x + y + z + 1 = 0 e θ a medida angular entre a reta P Q e π . Calcule cos ⁡ θ .

Passo 1

Primeiro vamos calcular o ponto Q .

Ele é a projeção de R no plano certo? Então, dada uma reta r que passe pelo ponto Q e pelo ponto R , seu vetor diretor vai ser o vetor normal do plano ( 1 ,   1 ,   1 ) . A equação dessa reta é

r : X = - 1 ,   - 1 ,   - 2 + λ ( 1 ,   1 ,   1 )

O ponto Q vai ser a intersecção dessa reta com o plano.

Passo 2

Um ponto genérico de r é Q = ( - 1 + λ ,   - 1 + λ ,   - 2 + λ ) , substituindo na equação do plano:

- 1 + λ - 1 + λ - 2 + λ + 1 = 0

3 λ - 3 = 0

λ = 1

Substituindo λ no ponto genérico Q , encontramos que a intersecção de r e π , ou seja, a projeção de R em π , é:

Q = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Passo 3

Agora queremos a medida angular entre P Q e π .

Temos que P Q = Q - P = ( - 1 ,   - 2 ,   0 ) , e o vetor normal do plano é ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Então:

s e n   θ = - 1 ,   - 2 ,   0 . 1 ,   1 ,   1 | | ( - 1 ,   - 2 ,   0 ) | | . | | ( 1 ,   1 ,   1 ) | |  

s e n   θ = - 1 - 2 5 . 3   = - 3 15  

Passo 4

Opa, nós queremos o cosseno do ângulo mas encontramos o seno. Para fazermos a transformação, vamos usar a relação trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

- 3 15   2 + c o s 2 θ = 1

9 15 + c o s 2 θ = 1

c o s 2 θ = 15 15 - 9 15

c o s 2 θ = 6 15

cos ⁡ θ = 6 15

Ah, esse cosseno é o mesmo do gabarito do seu livro viu? Só ta escrito de forma diferente :P

Resposta

cos ⁡ θ = 6 15

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Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto P = ( 1,1 , 1 ) e é perpendicular aos planos x+ y- 2= 0 e 3 x+ z- 8= 0 .
Determine uma equação cartesiana do plano que passa pela reta r: x + 1 2 = y 3 = z - 1 e é perpendicular ao plano 3 x- 4 y - 2 z- 1= 0 .
c) Existem retas contidas no plano π , que são reversas à reta r e distam 2 desta?
c) Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π 1 e π 2 .
Considere os vetores V = i → + 3j → + 2k → , W = 2 i → -j → +k → e U = i → - 2 j → . Seja π um plano paralelo aos vetores W e U e r uma reta perpendicular ao plano π . Ache a projeção ortogonal do vet