Enunciado

Obtenha equações da reta r que contém o ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) e é concorrente com s : x = 2 y = 2 z , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a 1 3 .

Passo 1

Seja ( a ,   b ,   c ) o vetor diretor r → da reta r que queremos. Precisamos achar esse vetor para encontrarmos nossa reta não é?

O vetor diretor s → da reta s , de acordo com sua equação, é 1 , 1 2 , 1 2 . Como o cosseno entre as duas retas é 1 3 , temos:

1 3 = 1 , 1 2 , 1 2 . a ,   b ,   c 1 , 1 2 , 1 2 . a ,   b ,   c

1 3 = a + b 2 + c 2 1 + 1 4 + 1 4 . a 2 + b 2 + c ²

6 2 . 1 3 = a + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c ²

Racionalizando:

18 6 = a + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c ²

3 2 6 = a + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c ²

2 2 = a + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c ²

Do numerador, temos:

a + b 2 + c 2 = 2     ( i )

E do denominador:

a 2 + b 2 + c ² = 2

a 2 + b 2 + c 2 = 4   ( i i )

Agora vamos usar as outras informações que temos :P

Passo 2

O enunciado diz que as duas retas são concorrentes, então, dado A = ( 0 ,   0 ,   0 ) , ponto de s , P = ( 1 ,   1 ,   1 ) , ponto de r , o determinante da tripla { A P → ,   r → ,   s → } deve ser 0. Sabemos que:

A P → = P - A = ( 1 ,   1 ,   1 )

Então vamos calcular o determinante:

1 1 1 a b c 1 1 2 1 2 = 0

Daí temos:

- b + c 2 = 0 → - b + c = 0   ( i i i )

Passo 3

Das 3 equações que encontramos, temos o sistema:

a + b 2 + c 2 = 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4 - b + c = 0

Da terceira equação, temos b = c .

Substituindo na primeira equação, ficamos com

a + c = 2

a = 2 - c

Substituindo na segunda equação:

2 - c 2 + c 2 + c 2 = 4

2 - c 2 + 2 c 2 = 4

Passo 4

Resolvendo essa equação por Bhaskara, encontramos:

c ' = 2                     c ' ' = - 2 3

Como b = c , temos também:

b ' = 2                     b ' ' = - 2 3

E como a = 2 - c , temos:

a ' = 0                             a ' ' = 4 2 3

Então, vamos ter duas opções para a reta r : uma com o vetor diretor ( a ' ,   b ' ,   c ' ) e outra com o vetor diretor ( a ' ' ,   b ' ' ,   c ' ' ) .

Passo 5

A primeira opção para a reta r é:

r ' : X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 0 ,   2 ,   2 )

E a segunda opção:

r ' ' : X = 1 ,   1 ,   1 + λ 4 2 3 ,   - 2 3 ,   - 2 3

OBS: essas equações de reta são as mesmas do gabarito do seu livro viu? Só que os vetores diretores estão multiplicados respectivamente pelos escalares 2 e 2 3

Resposta

r ' : X = 1 ,   1 ,   1 + λ ( 0 ,   2 ,   2 )

r ' ' : X = 1 ,   1 ,   1 + λ 2 2 3 ,   - 2 3 ,   - 2 3

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