Enunciado

Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo de P , e o que está mais afastado.

b) A = 1 ,   2 ,   - 3 ,   B = 4 ,   5 ,   0 ,   P = ( 1 ,   0 ,   - 4 )

Passo 1

b) Um ponto X pertence ao segmento A B se, e somente se, existe t tal que

X = A + t . A B →

Sabendo que A B → = B - A = ( 3 ,   3 ,   3 ) :

X = 1 ,   2 ,   - 3 + t . ( 3 ,   3 ,   3 )

Então, um ponto X só pertence ao segmento A B se existir t tal que

X = 1 + 3 t ,   2 + 3 t ,   - 3 + 3 t

Passo 2

Para encontrarmos o ponto X mais próximo de P = ( 1 ,   0 ,   - 4 ) , queremos que P X → ² seja o menor possível.

Sabendo que P X → = X - P = 3 t ,   3 t + 2 ,   3 t + 1 , temos

P X → = 3 t 2 + 3 t + 2 2 + 3 t + 1 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

P X → = 9 t 2 + 9 t 2 + 12 t + 4 + 9 t 2 + 6 t + 1

Elevando os dois lados ao quadrado:

P X → 2 = 27 t 2 + 18 t + 5

Belezinha, temos a expressão de uma função do segundo grau com concavidade para cima, onde a = 27 ,   b = 18 ,   c = 5 .

Passo 3

Encontrando o ponto mais próximo

Pela expressão de P X → ² , temos que ele é uma parábola com a concavidade para cima. Então, o seu menor valor vai ser o vértice dessa parábola, dado por t m i n = - b 2 a

t m i n = - 18 2.27 = - 9 27 = - 1 3

Então, o valor mínimo de distância entre P e X vai ser atingido quando t = - 1 3 . Substituindo no ponto genérico X , temos

X = 1 + 3 t ,   2 + 3 t ,   - 3 + 3 t

X m i n = ( 0 ,   1 ,   - 4 )

Passo 4

Encontrando o ponto mais afastado

O ponto mais afastado sempre vai ser uma das extremidades do segmento A B ta ok?

Lembrando que A = 1 ,   2 ,   - 3 ,   B = 4 ,   5 ,   0 ,   P = ( 1 ,   0 ,   - 4 ) , vamos ver quanto vale d ( A ,   P ) e d ( B ,   P ) e aí o maior valor vai ser aquele ponto mais afastado de todos hahaha

d A ,   P = 2 2 + 1 ² = 5

d B ,   P = 3 2 + 5 2 + 4 ² = 50

Bom, d B ,   P > d ( A ,   P ) , então, o ponto B é o ponto mais afastado de P ;)

Resposta

b) Mais próximo: X m i n = ( 0 ,   1 ,   - 4 )

Mais afastado: B = ( 4 ,   5 ,   0 )

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