Enunciado

Determine se T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

T 1   :   R 3   →   R 3 é a rotação em torno do eixo x por um ângulo θ   :   R 3   →   R 3 é a

rotação em torno do eixo z por um ângulo θ .

Passo 1

A matriz que representa a rotação em torno do eixo x é:

T 1 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1

A matriz que representa a rotação em torno do eixo z é:

T 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Passo 2

Agora vamos fazer o produto interno obedecem ao critério apresentado

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1 ⋅ 1 0 0 0 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 * cos ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

e

T 1 ∘ T 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Não, T 1   ∘ T 2 ≠   T 2 ∘   T 1 .

Resposta

Não

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Fórmula ( 15 ) para encontrar a matriz canônica de uma rotação de π 2 radianos em torno do eixo determinado pelo vetor v( 1 ,1 ,1 ) . [Observação: a Fórmula ( 15 ) exige que o vetor que define o
Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( - 2 ,1 ,2 ) se for girado por um ângulo de θ = - 45 ° em torno do eixo y .
É costume dizer que uma função da forma f x = m x + b é uma “função linear” porque o gráfico de y = m x + b é uma reta. f será uma transformação matricial em R ?
Descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x → pela matriz. A =cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ
Sejam x = x 0 + t v uma reta em R n e T : R n → R n um operador matricial em R n . Que tipo de objeto geométrico é a imagem dessa reta pelo operador T ? Explique seu raciocínio.