Enunciado

Descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x → pela matriz.

A =   cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Passo 1

Primeiro temos que saber que x → = ( a , b ) .

Também precisamos lembrar das identidades trigonométricas:

cos ⁡ 2 θ  = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 2

Substituindo os termos obtemos:

A =   cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ

Lembrando que R θ é uma matriz de rotação:

R θ = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Assim vemos que A rotaciona x → em um ângulo de 2 θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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