Enunciado

Determine se u , v e w são coplanares desde que posicionados com seus pontos iniciais coincidindo

u = - 1 ,   - 2 ,   1 , v = 3 ,   0 ,   - 2 , w = ( 5 ,   - 4 ,   0 )

Passo 1

Nessa questão, vamos usar do Teoream 3.5.5 que diz que, três vetores com o mesmo ponto inicial são coplanares se, e somente se

u ∙ v × w = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = 0

Passo 2

Vamos calcular então o determinante da matriz u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = - 1 - 2 1 3 0 - 2 5 - 4 0

- 1 - 2 1 3 0 - 2 5 - 4 0

( - 1 ) 0 - 2 - 4 0 - ( - 2 ) 3 - 2 5 0 + 1 3 0 5 - 4

- 1 0 - 8 + 2 0 - - 10 + - 12 - 0

8 + 20 - 12

16

Passo 3

Como u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = - 1 - 2 1 3 0 - 2 5 - 4 0 = 16 ≠ 0 pelo Teorema 3.5.5 os vetores não são coplanares.

Resposta

Os vetores u , v e w não são coplanares.

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(c) Aplique (b) ao caso em que u → = 1 , - 3 ,1 B e v → - 3, 3, 3 B .
(d) Seja E = ( a → , b → , c → ) a base obtida da base ( u → , v → , w → ) pelo Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt ( u → , v → e w → são os do item (c)). Dados x → = 1 ,1 ,2 E e y → = 0 ,2 ,
(a) Dados os vetores linearmente independentes u → e v → , descreva, em termos do produto vetorial u → ∧ v → , o conjunto A dos vetores ortogonais a u → e a v → .
Resolva os sistemas:(a) x → ∧ i → + j → = - i → + j → x → . i → + j → = 2
(d) Prove que a Fórmula de mudança de pólo: m → A = m → O + r → ∧ O A → . (Portando, se r → = 0 → , o momento de S não depende do pólo. Em particular, se S está em equilíbrio, é nulo seu momento em re