Enunciado

Determine m e n tais que ( vec u , vec v ) seja LD, sendo vec u = ( 1 , m , n + 1 ) e vec v = ( m , n , 10 ) .

Passo 1

Para que vec u e vec v sejam LD, eles devem ser múltiplos, ou seja, deve existir um alpha != 0 tal que:

(m , n , 10) = alpha ( 1 , m , n + 1 )

(m , n , 10) = ( alpha , m alpha , alpha ( n + 1 ) )

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

{[[alpha = m],[m . alpha = n],[alpha (n + 1) = 10]])

Passo 2

Da primeira equação, temos que alpha = m , substituindo na segunda equação:

alpha^2 = n

Substituindo na terceira equação:

alpha (alpha ² + 1) = 10

alpha^3 + alpha - 10 = 0

A única solução real dessa equação do terceiro grau é alpha = 2 .

Passo 3

Substituindo o valor de alpha na primeira equação, temos

m = 2

E na segunda equação, temos

2.2 = n

n = 4

Então, para que os vetores sejam LD, teremos:

(m , n , 10) = alpha ( 1 , m , n + 1 )

(2 , 4 , 10) = 2 ( 1 , 2 , 5 )

Resposta

m = 2 e n = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo v_1 = (1 , 2) in R^2 , determinar v_2 in R^2 tal que { v_1 , v_2 } seja base de R^2 .
Determinar o subespaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores: p 1 = x 2 p 2 = x 2 + x
Verificar se o vetor v = ( - 1 ,- 3 ,2 ,0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,- 1 ,3 ,0 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) e v 3 = ( 0 ,1 ,- 1 ,0 ) .
Determina o espaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores: p 1 = 2 x + 2 p 2 = - x 2 + x + 3 p 3 = x 2 + 2 x
Mostrar que os vetores v 1 = ( 2 ,1 ) e v 2 = ( 1 ,1 ) geram o R 2 .