Enunciado

Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão x - 2 y + z (e os pontos X m á x e X m í n em que ocorrem) quando X percorre a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 6 .

Passo 1

Queremos determinar os valores máximos e mínimos atingidos pela seguinte expressão:

X = x - 2 y + z

Isto é, queremos descobrir esse valor de X . Bom, esta equação acima parece com algo que já trabalhamos bastante. Vamos isolar tudo de um lado da equação. Portanto,

x - 2 y + z - X = 0

E a equação acima não é exatamente a equação de um plano? Portanto, estamos fazendo um plano percorrer uma superfície esférica. Então, como queremos que haja interseção, a seguinte relação deve ser satisfeita:

d C , π ≤ ρ = 6

Como o centro da superfície é C = 0,0 , 0 , temos:

0 - 2 0 + 0 - X 1 2 + - 2 2 + 1 2 ≤ 6

X 6 ≤ 6

Abrindo o módulo, temos:

- 6 ≤ X 6 ≤ 6

- 6 ≤ X ≤ 6

Pronto, o valor de X deve variar dentro deste intervalo. Logo,

X m á x = 6

X m í n = - 6

O que correspondem exatamente aos pontos de tangencia do plano na superfície

Passo 2

Agora, temos que descobrir as coordenadas destes pontos de tangência. Para isto, vamos criar uma reta r que é perpendicular ao plano, logo tem vetor diretor n → = 1 , - 2 , 1 , e que passa pelo centro da superfície. Portanto,

r : X = 0,0 , 0 + λ 1 , - 2,1

r : X = λ , - 2 λ , λ

Agora, vamos obter a interseção desta reta com a superfície esférica. Substituindo as coordenadas do ponto X ∈ r na equação da superfície esférica, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 6

λ 2 + - 2 λ 2 + λ 2 = 6

λ 2 + 4 λ 2 + λ 2 = 6

λ 2 = 1

λ = ± 1

Logo, temos dois pontos: A = 1 , - 2,1 e B = - 1,2 , - 1 . Só nos resta identificar qual nos retorna o X m á x e qual o X m í n . Para isto, basta substituir as coordenadas dos pontos na relação x - 2 y + z . Portanto, substituindo as coordenadas do ponto A , temos:

1 - 2 ⋅ - 2 + 1 = 6

Portanto,

A = X m á x = 1 , - 2,1

B = X m í n = - 1,2 , - 1

Resposta

O valor máximo é 6 e o mínimo -6. Já os pontos são X m á x = 1 , - 2,1 e X m í n = - 1,2 , - 1 .

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