Enunciado

Dado os pontos A = 3 , - 1 , - 2 e B = 1 , 1 , - 2 , obtenha equações do lugar geométrico dos pontos X tais que A B X seja equilátero. Descreva-o geometricamente.

Passo 1

A questão nos pede para determinar qual o lugar geométrico que o ponto X = x , y , z pertence.

A única informação dada foi que o triângulo A B X é equilátero. Desta informação, sabemos que todos os lados do triângulo são iguais. Logo,

d X , A = d X , B = d A , B

Então, nosso trabalho é somente desenvolver o seguinte sistema:

d X , A = d A , B d X , A = d X , B

Aaaaaaah! Não vamos esquecer de analisar o que a equação significa no espaço depois de obtê-la!

Passo 2

Vamos agora desenvolver a primeira relação do sistema. Portanto,

d X , A = d A , B

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 1 - 3 2 + 1 + 1 2 + - 2 + 2 2

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = - 2 2 + 2 2 + 0 2

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 8

Agora, vamos elevar ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz. Com isto, temos:

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 8

Que consiste em uma superfície esférica centrada no ponto C = 3 , - 1 , - 2 e de raio ρ = 8

Passo 3

Agora, vamos desenvolver a seguinte relação do sistema. Portanto,

d X , A = d X , B

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = x - 1 2 + y - 1 2 + z + 2 2

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = x - 1 2 + y - 1 2 + z + 2 2

x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 + 4 z + 4 = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 + 4 z + 4

- 6 x + 2 y + 4 z + 1 4 = - 2 x - 2 y + 4 z + 6

- 4 x + 4 y + 8 = 0

- x + y + 2 = 0

O que consiste em um plano.

Passo 4

Para finalizarmos, obtemos o seguinte sistema:

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 8 - x + y + 2 = 0

Ele consiste na interseção de uma superfície esférica e um plano. Em outras palavras, temos uma circunferência.

Vamos determinar o centro e o raio dessa circunferência Γ .

Para descobrimos a coordenas do centro da circunferência, precisamos construir uma reta r que passa pelo ponto C = 3 , - 1 , - 2 , centro da superfície esférica, e tem vetor diretor o vetor normal ao plano π n → = - 1,1 , 0 . Portanto,

r : X = 3 , - 1 , - 2 + λ - 1 , 1 , 0

r : X = 3 - λ , - 1 + λ , - 2

Agora, vamos obter a interseção desta reta com o plano. Substituindo as coordenadas do ponto X ∈ r na equação do plano, temos:

- x + y + 2 = 0

- 3 - λ + - 1 + λ + 2 = 0

2 λ - 2 = 0

λ = 1

Portanto, o ponto G = 3 - 1 , - 1 + 1 , - 2 = 2,0 , - 2 será o centro da circunferência Γ .

Agora, vamos calcular o raio σ da circunferência. Para isto, usamos a seguinte expressão:

σ = ρ 2 - d 2 C , π

Só nos resta calcular esta distância do centro C ao plano π . Portanto,

d C , π = - 3 - 1 + 2 - 1 2 + 1 2 + 0 2

d C , π = - 2 1 + 1 + 0 = 2 2 = 2

Portanto,

σ = 8 2 - 2 2 = 8 - 2 = 6

Resposta

Γ : x - 3 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 8 - x + y + 2 = 0

Circunferência de centro   G = 2,0 , - 2 e raio σ = 6 .

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