Enunciado

Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .

  1. A = 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3

Passo 1

Beleza, aluno? Vamos para mais uma resolução!!

Primeiro, podemos escrever A X = λ X como A X = λ I n X , pois essas expressões são equivalentes. Podemos, então, manipular a expressão obtida de forma que:

A X - λ I n X = 0

Colocando X em evidência:

A - λ I n X = 0

Como sabemos que X ≠ 0 ,isso implica que A - λ I n = 0 .

A expressão só terá soluções não triviais quando det ⁡ A - λ I n = 0 . E é assim que vamos montar a resolução desse exercício!

Passo 2

Como A é uma matriz 3x3, precisamos que a matriz identidade I n também seja 3x3 para realizarmos a subtração. Assim:

A - λ I 3 =   2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A - λ I 3 =   2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

A - λ I 3 =   2 - λ 0 0 3 - 1 - λ 0 0 4 3 - λ

Passo 3

Por fim, calculando o determinante:

det ⁡ A - λ I n = det ⁡ 2 - λ 0 0 3 - 1 - λ 0 0 4 3 - λ =

2 - λ ∙ - 1 - λ ∙ 3 - λ + 0 ∙ 0 ∙ 0 + 0 ∙ 3 ∙ 4 - 0 ∙ - 1 - λ ∙ 0 - 0 ∙ 3 ∙ 3 - λ

- 2 - λ ∙ 0 ∙ 4 = 2 - λ ∙ - 1 - λ ∙ 3 - λ + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 =  

2 - λ ∙ - 1 - λ ∙ 3 - λ

Como queremos que o determinante seja 0:

2 - λ ∙ - 1 - λ ∙ 3 - λ = 0

Resolvendo:

2 - λ = 0

λ = 2

Ou

- 1 - λ = 0

λ = - 1

Ou

3 - λ = 0

λ = 3

Resposta

λ = - 1 ou λ = 2 ou λ = 3 .

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