Enunciado

Determine os valores de a   com os quais o sistema x + y + 7 z = - 7 2 x + 3 y + 17 z = - 16 x + 2 y + a 2 + 1 z = 3 a o sistema

não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

Para determinarmos uma condição para um sistema, devemos escrevê-lo como uma matriz ampliada a fim de achar uma relação que envolva esse parâmetro.

No caso, a matriz ampliada é:

1 2 1 1 3 2 7 17 a 2 + 1 - 7 - 16 3 a

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

1 2 1 1 3 2 7 17 a 2 + 1 - 7 - 16 3 a → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 0 0 1 1 1 7 3 a 2 - 6 - 7 - 2 3 a + 7

1 0 0 1 1 1 7 3 a 2 - 6 - 7 - 2 3 a + 7 → L 3 → L 3 - L 2 1 0 0 1 1 0 7 3 a 2 - 9 - 7 - 2 3 a + 9

Passo 3

Repare que conseguimos isolar o parâmetro a na última linha. Agora, vamos testar as condições para que o sistema tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.

Testaremos o valor de a para zerar o lado esquerdo da equação a 2 - 9 z = 3 a + 9

Assim, temos os valores 3 e - 3 .

Se a = ± 3   e a ≠ 3 (ou seja, a = 3 )   o sistema não possui soluções;

Se a ≠ ± 3   o sistema possui apenas uma solução;

O sistema não pode possuir inifinitas soluções pois não há valores que satistaçam:

a 2 - 9 = 3 a + 9 = 0 ∴ a = - 3

Resposta

Se a = 3 o sistema não possui soluções;

Se a ≠ ± 3   o sistema possui apenas uma solução;

Se a = - 3 , o sistema possui infinitas soluções

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dispondo de três ligas L1, L2 e L3, cujas percentagens de ouro e prata são dadas na tabela abaixo, L1 L2 L3 ouro 30% 40% 80% prata 70% 60% 20% quero obter 100g de uma liga L4 formada por igual quantid
Sejam a1x + b1y + c1z = d1 e a2x + b2y + c2z = d2 as equações de 2 planos que têm a reta r em comum. Mostre que a3x + b3y + c3z = d3 é a equação de um plano que contém essa mesma reta se, e somente se
Considerando os 4 vetores-coluna u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2) e d = (d1, d2), escreva o sistema de duas equações com três incógnitas sob a forma x·u+y·v+z·w = d e, a partir daí, interprete
. No sistema a 1 x+b 1 y+c 1 z=d 1 a 2 x+b 2 y+c 2 z=d 2, admitindo que se têm realmente três incógnitas, mostre que se a1b2 − a2b1 = b1c2 − b2c1 = c1d2 − c2d1 = 0 então existe k ≠ 0 tal que a2 = ka1,
Para cada um dos sistemas a seguir, decida se existem ou não soluções. No caso afirmativo, exiba todas as soluções do sistema em termos de um ou dois parâmetros independentes.x+2 y+3 z = 4 2 x-y+5 z=