Enunciado

Mostre que se a d - b c ≠ 0 , então a forma escalonada reduzida por linhas de

a b c d é 1 0 0 1 .

Passo 1

Se pegarmos a matriz a b c d admitindo que é uma matriz não nula, podemo escaloná-la da forma:

a b c d → L 1 → 1 a L 1 1 b / a c d

1 b / a c d → L 2 → L 2 - c L 1 1 b / a 0 d - b c a

Passo 2

1 b / a 0 d - b c a → L 2 → a L 2 1 b / a 0 a d - b c

1 b / a 0 a d - b c → L 2 → 1 a d - b c L 2 1 b / a 0 1

1 b / a 0 1 → L 1 → L 1 - b a L 2 1 0 0 1

Logo, reduzimos a uma matriz identidade.

Passo 3

Se temos um fator nulo ( a = 0 ), temos uma nova matriz 0 b c d .   Porém, temos a condição a d - b c ≠ 0 . Se a = 0 , temos que nem b nem c podem ser nulos.

Portanto, podemos operar a matriz da forma:

0 b c d → L 1 → 1 b L 1 0 1 c d

0 1 c d → L 2 → L 2 - d L 1 0 1 c 0

0 1 c 0 → L 2 → 1 c L 1 0 1 1 0 → L 1 ↔ L 2 1 0 0 1

Resposta

Portanto, não importa se a é nulo ou não nulo. Se a condição é a d - b c ≠ 0 , então a forma reduzida de a b c d é 1 0 0 1 .

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