Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

h) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Passo 1

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   - x 0 0 0 0 - x 0 0 0 0 0 0 - x 1 1 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ - x 0 0 0 0 - x 0 0 0 0 0 0 - x 1 1 - x

det = x 2 ( x 2 - 1 )

Igualando a zero e resolvendo:

x 2 ( x 2 - 1 ) =   0

x = -1

x = 0

x = 1

Passo 2

Substituindo x = -1 na matriz ( A - x I ):

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

Escalonando:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 0 a a

Assim, temos

a(0, 0, 1, 1)

Substituindo x = 0 na matriz ( A - x I ):

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Escalonando:

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a b 0 0

Assim, temos

a(1, 0, 0, 0) + b(0, 1, 0, 0)

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

- 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 - 1 1 1 - 1

Escalonando:

1 0 0       0 0 1 0       0 0 0 0 0 1 0 - 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 0 0 - a a

Assim, temos

a(0, 0, -a, a)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:

W 1 = 0 ,   0 , 1 2 , 1 2

W 2 = 1 ,   0 ,   0 ,   0 e   W 3 = 0 ,   1 ,   0 ,   0  

W 4 = ( 0 ,   0 , - 1 2 , 1 2 )

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   1 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 2 1 2 1 2 1 2 , que gera D =   0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1

Resposta

P =   1 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 2 1 2 1 2 1 2

D =   0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - 1

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