Enunciado

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Passo 1

E aí? Bora matar essa questão?

Bom, precisamos encontrar a matriz P que diagonaliza A e P - 1 A P , mas o que é isso?

Então, P é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.

Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz P :

Agora, o que é P - 1 A P , é a multiplicação das matrizes.

Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:

P - 1 = P T

Passo 2

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

  A - λ I = 0

E vamos fazer parte, primeiro λ I :

λ I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Passo 4

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

λ I - A = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

λ I - A = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ - 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ - 0 0 0 0 0 λ - 0

Então:

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = 0

Passo 5

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = 0 ∙ C 14 + 0 ∙ C 24 + 0 ∙ C 34 + λ ∙ C 44

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = λ ∙ C 44

Vamos calcular os cofatores:

C 44 = - 1 4 + 4 ∙ D 44

C 44 = - 1 8 ∙ λ - 3 - 1 0 - 1 λ - 3 0 0 0 λ

C 44 = 1 ∙ λ - 3 - 1 0 - 1 λ - 3 0 0 0 λ

C 44 = λ - 3 - 1 0 - 1 λ - 3 0 0 0 λ

Bora resolver a matriz:

λ - 3 - 1 0 - 1 λ - 3 0 0 0 λ λ - 3 - 1 - 1 λ - 3 0 0

λ - 3 ∙ λ - 3 ∙ λ + 0 + 0 - 0 - 0 - λ = λ 2 - 6 λ + 9 λ - λ = λ 3 - 6 λ 2 + 9 λ - λ

λ 3 - 6 λ 2 + 8 λ

Passo 6

Retornando para:

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = λ ∙ C 44

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = λ ∙ λ 3 - 6 λ 2 + 8 λ

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = λ 4 - 6 λ 3 + 8 λ 2

Relembrando:

λ I - A = 0

Logo:

λ 4 - 6 λ 3 + 8 λ 2 = 0

Colocando λ 2 em evidência:

λ 2 ∙ λ 2 - 6 λ + 8 = 0

λ 2 ∙ λ - 2 ∙ λ - 4 = 0

Temos:

λ 1 = λ 2 = 0

λ 3 = 2

λ 4 = 4

Passo 7

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y z

Logo:

A - λ I ∙ x y z = 0

Como já temos A - λ I :

λ - 3 - 1 0 0 - 1 λ - 3 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ ∙ x y z = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Molezinha, não!?

Passo 8

Para λ 1 = λ 2 = 0 :

0 - 3 - 1 0 0 - 1 0 - 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∙ w x y z = 0

- 3 - 1 0 0 - 1 - 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∙ w x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 3 w - x = 0 - w - 3 x = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher:

- w - 3 x = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o w :

- w = 3 x

w = - 3 x

Substituindo em:

- 3 w - x = 0

- 3 - 3 x - x = 0

- 3 - 3 x - x = 0

9 x - x = 0

8 x = 0

x = 0

Substituindo x em w :

w = - 3 x

w = - 3 ∙ 0

w = 0

E temos:

y = y

z = z

Escrevendo:

v = w x y z

v 1 = 0 0 1 0

E:

v 2 = 0 0 0 1

Passo 9

Para λ 3 = 2 :

2 - 3 - 1 0 0 - 1 2 - 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∙ w x y z = 0

- 1 - 1 0 0 - 1 - 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∙ w x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- w - x = 0 - w - x = 0 2 y = 0 2 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vamos escolher a primeira:

- w - x = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

- x = w

x = - w

Falta saber os valores de y e z .

Para y , usamos a terceira equação:

2 y = 0

y = 0

Para z, usamos a terceira equação:

2 z = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 3 = w - w 0 0

Colocando x em evidência, temos:

v 3 = x ∙ 1 - 1 0 0

Temos que o valor de autovetor é:

v 3 = 1 - 1 0 0

Passo 10

Para λ 4 = 4 :

4 - 3 - 1 0 0 - 1 4 - 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 ∙ w x y z = 0

1 - 1 0 0 - 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 ∙ w x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

w - x = 0 - w + x = 0 4 y = 0 4 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vamos escolher a primeira:

w - x = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

w = x

Falta saber os valores de y e z .

Para y , usamos a terceira equação:

4 y = 0

y = 0

Para z, usamos a terceira equação:

4 z = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 4 = x x 0 0

Colocando x em evidência, temos:

v 4 = x ∙ 1 1 0 0

Temos que o valor de autovetor é:

v 4 = 1 1 0 0

Passo 11

Estamos mandando bem!!! Bora determinar normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 0 2 + 0 2 + 1 2 + 0 2 ∙ 0 0 1 0

u 1 = 1 1 ∙ 0 0 1 0

u 1 = 0 0 1 0

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 0 2 + 0 2 + 0 2 + 1 2 ∙ 0 0 0 1

u 2 = 1 1 ∙ 0 0 0 1

u 2 = 0 0 0 1

u 3 = v 3 v 3

u 3 = 1 ( -   1 ) 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 ∙ - 1 1 0 0

u 3 = 1 2 ∙ - 1 1 0 0

u 3 = - 1 2   1 2 0 0

u 4 = v 4 v 4

u 4 = 1 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 ∙ 1 1 0 0

u 4 = 1 2 ∙ 1 1 0 0

u 4 = 1 2   1 2 0 0

Passo 12

Não desiste de mim, que falta pouco!!!

Bora escrever, P !?

Para escrever P , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas, então:

P = 0 0 1 2 1 2 0 0 - 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0

Passo 13

Estamos quase no fim, eu juro!!!

Agora vamos determinar P - 1 , para isso vamos transformar P na matriz identidade.

Primeiro vamos escrever:

0 0 1 2 1 2 0 0 - 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Se liga na anotação que vamos usar para simbolizar nossas operações (utilizando como exemplo nossa primeira operação, vamos inverter duas linhas:

L 1 ↔ L 3

1 0 0 0 0 0 - 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Fazendo:

L 2 ↔ L 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 - 1 2 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0

Fazendo:

L 4 + L 3 → L 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0

Fazendo:

1 2 L 4 → L 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 2 0 0

Fazendo:

L 3 - 1 2 L 4 → L 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0

Fazendo:

2 L 2 → L 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 - 2 2 0 0 1 2 1 2 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0

Passo 14

Último passo antes da tão sonhada P - 1 A P !!!!

Só precisamos fazer substituir:

P - 1 A P = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 ∙ 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∙ 0 0 - 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0

Passo 15

Bora fazer com a nossa multiplicação!!!

P - 1 A P = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 - 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 ∙ 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∙ 0 0 - 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0

P - 1 A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 - 1 2 1 2 - 3 2 0 0 3 2 + 1 2 1 2 + 3 2 0 0 ∙ 0 0 - 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0

P - 1 A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 - 2 2 0 0 4 2 4 2 0 0 ∙ 0 0 - 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0

P - 1 A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 2 - 2 2 2 2 - 2 2 0 0 - 4 2 + 4 2 4 2 + 4 2

P - 1 A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 4

Mandamos bem!!! Partiu, outra questão?

Resposta

P = 0 0 1 2 1 2 0 0 - 1 2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0

P T A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 2 0 0 0 0 4

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