Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

f) 2 1 1 1 2 1 1 1 2

Passo 1

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   2 - x 1 1 1 2 - x 1 1 1 2 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 2 - x 1 1 1 2 - x 1 1 1 2 - x

det = - x 3 +6 x 2 -9x+4

Igualando a zero e resolvendo:

- x 3 +6 x 2 -9x+4 =   0

x = 1

x = 4

Passo 2

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Escalonando:

1 1 1 0 0 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a - b a b

Assim, temos

a(-1, 1, 0) + b(-1, 0, 1)

Substituindo x = 4 na matriz ( A - x I ):

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2

Escalonando:

1 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a a a

Assim, temos

a(1, 1, 1)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:

W 1 = - 1 2 , 1 2 , 0   e   W 2 = ( - 1 6 ,   - 1 6 , 6 3 )

W 3 = 1 3 ,   1 3 , 1 3

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   - 1 2 - 1 6 1 3 1 2 - 1 6 1 3 0 6 3 1 3 , que gera D =   1 0 0 0 1 0 0 0 4

Resposta

P =   - 1 2 - 1 6 1 3 1 2 - 1 6 1 3 0 6 3 1 3

D =   1 0 0 0 1 0 0 0 4

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3. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v vetores em forma de coluna, então u , v = u T A v É um produto interno de R n .
1. Em cada caso, verifique que a matriz é ortogonal e encontre sua inversa.(a) 3 5 - 4 5 4 5 3 5 (b) 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25