Enunciado

Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B B = A .

  1. Encontre duas raízes quadradas de A = 2 2 2 2 .

Passo 1

Quando um problema é enunciado com uma definição, a primeira coisa a se fazer é montar a equação que está definida para desenvolvê-la e ver onde podemos chegar.

Adotando B = a b c d , vamos abrir o produto B B .

B B = a b c d . a b c d

B B = ( a × a ) + ( b × c ) a × b + ( b × d ) c × a + ( d × c ) c × b + ( d × d )

B B = a 2 + b c b ( a + b ) c a + d b c + d 2

Passo 2

Agora, vamos montar a equação matricial para essa matriz e igualar à matriz A conforme a definição do enunciado:

B B = A

a 2 + b c b ( a + b ) c a + d b c + d 2 = A

a 2 + b c b ( a + b ) c a + d b c + d 2 = 2 2 2 2

Depois, vamo igualar cada equação da matriz B B com os elementos respectivos da matriz de coeficientes independentes A

a 2 + b c = 2 b a + b = 2 c a + d = 2 b c + d 2 = 2

Passo 3

As equações a 2 + b c = 2 e b c + d 2 = 2 possuem o termo b c em comum. Se subtrairmos uma equação da outra, temos:

a 2 - d 2 = 0     →     a 2 = d 2

As equações b a + d = 2 e c a + d = 2 possuem ( a + d ) em comum. Vamos isolar essa soma para que possamos realizar uma substituição.

a + d = 2 b     → c 2 b = 2

2 c b = 2     → 2 c = 2 b     ∴       c = b

Passo 4

Nesse passo, devemos ter muita cautela. Primeiro, vamos analisar a + d = 2 b .

Se isolarmos b , temos b = 2 a + b e observamos que a + b ≠ 0 . Portanto, quando resolvemos a 2 = d 2 , vemos que as opções são a = ± d

Depois, vamos substituir o valor de c = b na equação a 2 + b c = 2 e em b a + d = 2

a 2 + b 2 = 2 b a + a = 2     →       a 2 + b 2 = 2 2 a b = 2     →       a 2 + b 2 = 2 b = 1 / a

Passo 5

Agora, vamos substituir o valor de b = 1 a em a 2 + b 2 = 2

a 2 + 1 a 2 = 2

Vamos multiplicar a equação toda por a 2

a 4 + 1 = 2 a 2     ∴       a 4 - 2 a 2 + 1 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação biquadrática trocando a variável a 2 = k

k 2 - 2 k + 1 = 0

- - 2 ± - 2 2 - 4 1 1 2 1

2 ± 4 - 4 2     →     2 2   ∴ k = 1

Retornando para k = a 2 , temos a 2 = 1     ∴       a = ± 1

Passo 7

Por último, vamos substituir a = ± 1 nos valores de b ,   c e d .

  • Para a = 1 :
  • b = 1 a     →     b = 1 1   ∴     b = 1 c = b     ∴       c = 1 d = a     ∴       d = 1

    B = 1 1 1 1

  • Para a = - 1 :

b = 1 a     →     b = 1 - 1   ∴     b = - 1 c = b     ∴       c = - 1 d = a     ∴       d = - 1

B = - 1 - 1 - 1 - 1

Resposta

As raízes são as matrizes B = 1 1 1 1 e B = - 1 - 1 - 1 - 1 .

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