Enunciado

Dê a solução do sistema linear:

d x d t = - 5 x d y d t = - 5 y

Com condição inicial x 0 = 1 e y 0 = 2 .

Passo 1

Pra resolver esse sisteminha, vamos começar escrevendo ele na forma matricial que aprendemos:

d x d t = - 5 x d y d t = - 5 y

d x d t d y d t = - 5   0   0 - 5 x y

Passo 2

Agora vamos fazer o que a gente já aprendeu: calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!

det ⁡ - 5   0   0 - 5 - λ I = 0

- 5 - λ   0 0 - 5 - λ = 0

Calculando o determinante:

- 5 - λ 2 = 0

Com isso, vamos obter dois autovalores iguais a - 5 .

λ 1 = λ 2 = - 5

Agora a gente substitui ali em cima pra achar os autovetores!

λ = - 5 :   - 5 - ( - 5 ) 0 0 - 5 - ( - 5 ) x y = 0

0 0 0 0 x y = 0

Nesse caso feio, os nossos autovetores são os da base canônica!

v 1 = 1 0 ,   v 2 = 0 1

Passo 3

Por isso, a solução do sistema é:

x y = c 1 1 0 e - 5 t + c 2 0 1 e - 5 t

Assim,

x t = c 1 e - 5 t

y t = c 2 e - 5 t

Pra determinar as constantes, vamos usar os valores que ele deu!

x 0 = c 1 = 1

y 0 = c 2 = 2

E assim,

x t = e - 5 t

y t = 2 e - 5 t

Resposta

x t = e - 5 t

y t = 2 e - 5 t

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