Enunciado

Dizemos que uma matriz B é uma raiz quadrada de uma matriz A se B B = A .

(b) Quantas raízes quadradas distintas você consegue encontrar de A = 5 0 0 9 ?

Passo 1

Quando um problema é enunciado com uma definição, a primeira coisa a se fazer é montar a equação que está definida para desenvolvê-la e ver onde podemos chegar.

Adotando B = a b c d , vamos abrir o produto B B .

B B = a b c d . a b c d

B B = ( a × a ) + ( b × c ) a × b + ( b × d ) c × a + ( d × c ) c × b + ( d × d )

B B = a 2 + b c b ( a + b ) c a + d b c + d 2

Passo 2

Agora, vamos montar a equação matricial para essa matriz e igualar à matriz A conforme a definição do enunciado:

B B = A

a 2 + b c b ( a + b ) c a + d b c + d 2 = A

a 2 + b c b ( a + b ) c a + d b c + d 2 = 5 0 0 9

Depois, vamo igualar cada equação da matriz B B com os elementos respectivos da matriz de coeficientes independentes A

a 2 + b c = 5 b a + d = 0 c a + d = 0 b c + d 2 = 9

Passo 3

As equações b ( a + d ) = 0 e c a + d = 0 analisamos que existem três opções quando igualamos as parcelas desses produtos a zero:

b = 0 ; c = 0 e a = - d

O fator a = - d transforma as equações a 2 + b c = 5 e b c + d 2 = 9 em:

d 2 + b c = 5 e b c + d 2 = 9

Quando subtraímos uma equação da outra, temos 0 = 4 o que é impossível.

Portanto, temos que nos apegar em   b = 0 ; c = 0 .

Passo 4

Quando tomamos b = 0 ; c = 0 , vemos que as equações a 2 + b c = 5 e b c + d 2 = 9 se reduzem a

a 2 = 5     ∴       a = ± 5 d 2 = 9     ∴       d = ± 3

Passo 5

Agora, vamos substituir o valor de a = ± 5   e d = ± 3 nas matrizes lembrando que

b = 0 ; c = 0 .

Por último, vamos substituir a = ± 1 nos valores de b ,   c e d .

  • Para a = + 5   e d = + 3
  • B = 5 0 0 3

  • Para a = - 5   e d = + 3
  • B = - 5 0 0 3

  • Para a = + 5   e d = - 3
  • B = 5 0 0 - 3

  • Para a = - 5   e d = - 3

B = - 5 0 0 - 3

Resposta

As raízes são as matrizes   B = 5 0 0 3 , B = - 5 0 0 3 , B = 5 0 0 - 3 e B = - 5 0 0 - 3

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