Enunciado

Dizemos que uma matriz B , n × n , é semelhante a uma matriz A , n × n , se existir uma matriz P não singular tal que B = P - 1 A P . Demonstre:

(a) A é semelhante a A ;

(b)Se A é semelhante a B , então B é semelhante a A ;

(c)Se A é semelhante a B e B é semelhante a C , então A é semelhante a C ;

Passo 1

Olá, jovem! Está com dificuldade nessa questão. Não se preocupe, vamos resolver juntos!

Basicamente, para provar o que a questão quer, só precisamos encontrar a matriz P que nos dá algo do tipo B = P - 1 A P .

(a) Nesse item, precisamos mostrar que A = P - 1 A P para alguma matriz P . Felizmente, a matriz identidade, cuja inversa é ela mesma, satisfaz essa condição: A = I - 1 A I . Então A é semelhante a A .

Passo 2

(b) Se A é semelhante a B então A = P - 1 B P . Podemos aplicar P no lado esquerdo e P - 1 no lado direito dessa equação:

A = P - 1 B P ⇒ P A P - 1 = P P - 1 B P P - 1 = I B I = B ⇒ B = P A P - 1

Então, podemos ver que B = Q - 1 A Q para Q = P - 1 . Assim, B é semelhante a A . Gostou desse truque?

Passo 3

(c) Se A é semelhante a B e B é semelhante a C , então A = M - 1 B M e B = N - 1 C N . Vamos substituir B = N - 1 A N em A = M - 1 B M :

A = M - 1 B M = M - 1 N - 1 C N M = P - 1 C P

onde fizemos P = N M . Então, vemos A é semelhante a C . Espero que tenha gostado dessa resolução e nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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Determinar, se possível, uma matriz M ∈ M 2 ( R ) de maneira que M - 1 A M seja diagonal, nos seguintes casos: a )2 4 3 13
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes 1 0 0 m 2 0 n 0 2
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes A = 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1
Determinar M in M_2 ( R ) inversível tal que M^(- 1) A M seja diagonal onde([[2,0,4],[3,-,4,12],[1,-,2,5]])