Enunciado

Determinar, se possível, uma matriz M ∈ M 2 ( R ) de maneira que M - 1 A M seja diagonal, nos seguintes casos:

a )   2 4 3 13

Passo 1

Nós temos

A = 2 4 3 13

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ  

Passo 2

Vamos subtrair

2 4 3 13 - λ 0 0 λ   = 2 - λ 4 3 13 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

2 - λ 4 3 13 - λ  

2 - λ 13 - λ - 12

Automaticamente, os autovalores serão

λ 1 = 1 ,       λ 2 = 1 4

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = 1

2 - λ 4 3 13 - λ = 1 4 3 12

Colocando no sisteminha de equações

1 4 3 12 x 1 x 2 = 0 0

Assim a matriz estendida é

1 4 0 3 12 0

Simplificando

1 4 0 0 0 0

Logo o vetor é

- 4 y y

Ou seja, - 4 1

Passo 4

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = 1 4

2 - λ 4 3 13 - λ = - 12 4 3 - 1

Colocando no sisteminha de equações

- 12 4 3 - 1 x 1 x 2 = 0 0

Assim a matriz estendida é

- 1 2 4 0 3 - 1 0

Simplificando

- 12 4 0 0 0 0

Logo o vetor é

1 3 y y

Ou seja, 1 3 1

Passo 5

Juntando os autovalores, teremos a matriz

1 0 0 14

Assim, colocando os autovetores na indicação dos autovalores, temos M igual a

M = - 4 1 3 1 1

Resposta

M = - 4 1 3 1 1

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