Enunciado

Diz-se que a reta r : a x + b y = c corta a circunferência Γ : A x 2 + A y 2 + D x + E y + F = 0   ortogonalmente quando r ´e perpendicular `a tangente de Γ em cada ponto da interseção r ∩ Γ. Prove que isto ocorre se, e somente se, a D + b E + 2 c A = 0 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Neste exercício ele diz que a reta r : a x + b y = c corta a circunferência Γ : A x 2 + A y 2 + D x + E y + F = 0   ortogonalmente quando r ´e perpendicular `a tangente de Γ em cada ponto da interseção r ∩ Γ. Prove que isto ocorre se, e somente se, a D + b E + 2 c A = 0 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que a reta é dada por,

r : a x + b y = c     e     Γ   : A x 2 + A y 2 + D x + E y + F = 0

Sendo r perpendicular a tangente Γ para provarmos que isso ocorre somente em,

a D + b E + 2 c A = 0

Temos que,

A x + a 2 + C y + b 2 + B x + a y + b + D x + a + E y + b + F = 0

Podendo dizer,

r : a x + b y = c

Sendo,

A = C ≠ 0     e     B = 0

D = E = 0

A r 2 + B x y + F = 0

Podendo dizer que,

A r 2 + B x y + F = 0 → a D + b E + 2 c A = 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

A r 2 + B x y + F = 0 → a D + b E + 2 c A = 0

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Em cada um dos casos abaixo, determine (se existir) o ponto de interseção dos segmentos AA′ e BB′. Se os segmentos não se intersectarem, decida se eles pertencem a retas concorrentes, paralelas ou coi
Em cada um dos casos a seguir, decida se o segmento AA′ corta um dos eixos, nenhum deles ou ambos. Determine o(s) ponto(s) de interseção quando existir(em). A = - 3 , - 1 ,A ' = 4 , 2 ;
Em cada um dos casos a seguir, decida se o segmento AA′ corta um dos eixos, nenhum deles ou ambos. Determine o(s) ponto(s) de interseção quando existir(em). A = - 5,3 ,A ' = - 1 , - 2 ;
Em cada um dos casos abaixo, determine (se existir) o ponto de interseção dos segmentos AA′ e BB′. Se os segmentos não se intersectarem, decida se eles pertencem a retas concorrentes, paralelas ou coi
Em cada um dos casos a seguir, decida se o segmento AA′ corta um dos eixos, nenhum deles ou ambos. Determine o(s) ponto(s) de interseção quando existir(em). A = 2 , - 1 ,A ' = 7 , - 15 ;