Enunciado

As duas partes deste exercício indicam o caminho para provar o Teorema 5.3.8

  1. Para simplificar a notação, seja
  2. M = a - b b a

    E escreva u → = R e ( x ) e v → = I m ( x ) , de modo que P = [ u →   |   v → ]

    Mostre que a relação A x → = λ x → implica:

    A x → = a u → + b v → + i - b u → + a v →

    E então iguale as partes real e imaginária nessa equação para mostrar que:

    A P = A u →     A v → = a u → + b v →     - b u → + a v → = P M

  3. Mostre que P é invertível, com o que termina a prova, pois o resultado da parte (a) implica A = P M P - 1 . [Sugestão: se P não for invertível, então um de seus vetores caluna é múltiplo escalar real do outro, digamos v → = d u → .   Substituindo isso nas equações A u → = a u → + b v → e A v → = - b u → + a v →   obtidas na parte (a), mostre que 1 + d 2 b u → = 0 . Finalmente, mostre que isso leva a uma contradição, provando que P é invertível]

Passo 1

Vamos supor, inicialmente, que P   não é inversível. Para isso, um dos seus vetores coluna deve ser múltiplo escalar do outro:

v → = c ⋅ u →

Vamos aplicar isso em:

A u → = a u → + b v →

A u → = a u → + b c ⋅ u →

Logo:

A u → = a + b c u →

Passo 2

Agora, vamos aplicar em

A v → = - b u → + a v →

A ( c ⋅ u → ) = - b u → + a ( c ⋅ u → )

A u → ⋅ c = ( - b + a c ) u →

Logo:

A u → = a - b c u →

Passo 3

Vamos igualar as expressões que obtemos nos passos anteriores:

a + b c u → = a - b c u →

Aplicando a propriedade distributiva:

a u → + b c u → = a u → - b c u →

Fazemos um pouco de aritimética:

a u → + b c u → - a u → + b c u → = 0

b c u → + b c u → = 0

Multiplicamos tudo por c :

b c 2 u → + b u → = 0

Chegamos em:

( c 2 + 1 ) b u → = 0

Vamos jogar o b pro outro lado dividirndo, e vamos distribuir u → :

c 2 u → + u → = 0

E como sabemos que: v → = c ⋅ u →

c v → + u → = 0

Reorganizando:

v → = 1 c u →

Bem, mas se v → = c ⋅ u → então ele não pode ser v → = 1 c u → . Isto é claramente uma contradição.

Passo 4

Então se considerarmos que P não é inversível leva a uma contradição, então, por consequência, P tem que ser inversível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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