Enunciado

Sejam { v 1 → , … ,   v n → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear. Mostre que se

T v 1 → = v 1 → ,   … ,   T v n → = v n →

Então T é um operador identidade de V

Passo 1

Já que { v 1 → , v 2 → … ,   v n → } é a base de V , então vamos gerar um novo vetor qualquer v → . Esse vetor qualquer é do seguinte formato:

v → = a 1 ⋅ v 1 → + a 2 ⋅ v 2 → + … + a n v n →

onde a 1 , a 2 , … ,   a n de são valores quaisquer.

Então, vamos aplicar a transformação linear neste vetor:

T v → = T a 1 ⋅ v 1 → + a 2 ⋅ v 2 → + … + a n v n → T v → = T a 1 ⋅ v 1 → ) + T ( a 2 ⋅ v 2 → ) + … + T ( a n v n → T v → = a 1 T ( v 1 → ) + a 2 T ( v 2 → ) + … + a n T ( v n → )  

Como a questão diz que: T v 1 → = v 1 → , … , T v n → = v n → , vamos aplicar isso:

T v → = a 1 ⋅ v 1 + a 2 ⋅ v 2 + … + a n ⋅ v n

T v → = v →  

Isso demonstra que para qualquer vetor v → a transformação linear é igual ao próprio vetor

T v → = v →       ∀     v → ∈ V

Em outras palavras, provamos que T   é a transformação identidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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