Enunciado

Nos exercícios 23-26, encontre uma matriz invertível P e uma matriz C da forma (15) tais que A = P C P - 1

A = 8 6 - 3 2

Passo 1

A = 8 6 - 3 2

Vamos começar a questão calculando os autovalores de A

det ⁡ λ I - A = 0

λ - 8 - 6 3 λ - 2 = 0  

λ - 8 λ - 2 - 3 ⋅ ( - 6 ) = 0

λ 2 - 10 λ + 34 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

λ = 5 ± 3 i

Passo 2

Agora vamos calcular o autovetor associado à λ 1 = 5 - 3 i

λ - 8 - 6 3 λ - 2 x 1 x 2 = 0 0

- ( 3 + 3 i ) - 6 3 3 - 3 i x 1 x 2 = 0 0

Vamos aplicar a Eliminação Gaussiana:

- ( 3 + 3 i ) - 6 3 3 - 3 i 0 0

Se multiplicarmos a primeira linha por ( 3 - 3 i ) vamos perceber que as duas linhas são múltiplos escalares entre si:

- ( 3 + 3 i ) ( 3 - 3 i ) - 6 ( 3 - 3 i ) 3 3 - 3 i 0 0 ⇒ - 18 - 6 ( 3 - 3 i ) 3 3 - 3 i 0 0

Então, podemos eliminar a primeira linha:

0 0 3 3 - 3 i 0 0

Chegamos em:

3 x 1 + 3 - 3 i x 2 = 0

Se chamarmos x 2 de um valor t qualquer:

x 2 = t

3 x 1 + 3 - 3 i t = 0 ⇒ x 1 = - ( 1 - i ) t

Assim, o autovetor associado é:

x → = - 1 + i 1 t

Passo 3

Agora podemos aplicar o Teorema 5.3.8 para determinar a matrix P

P = R e x → + I m x

P = R e - 1 + i R e 1 I m - 1 + i I m 1

P = - 1 1 1 0

E já vamos calcular logo a inversa desta matriz. Como é uma matriz 2x2, podemos calcular a inversa como:

P = a b c d ⇒ P - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Aplicando os valores:

P - 1 = 0 1 1 1

Passo 4

Vamos continuar aplicando o Teorema 5.3.8:

A = P C P - 1

Podemos multiplicar os dois lados por P - 1 à direita, e por P à esquerda:

P - 1 A P = P - 1 P C P - 1 P

O que resulta em:

C = P - 1 A P

Vamos aplicar os valores:

C = 0 1 1 1 ⋅ 8 6 - 3 2 ⋅ - 1 1 1 0

C = 5 - 3 3 5

Resposta

P = - 1 1 1 0

C = 5 - 3 3 5

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