Enunciado

As duas partes deste exercício indicam o caminho para provar o Teorema 5.3.8

  1. Para simplificar a notação, seja
  2. M = a - b b a

    E escreva u → = R e ( x ) e v → = I m ( x ) , de modo que P = [ u →   |   v → ]

    Mostre que a relação A x → = λ x → implica:

    A x → = a u → + b v → + i - b u → + a v →

    E então iguale as partes real e imaginária nessa equação para mostrar que:

    A P = A u →     A v → = a u → + b v →     - b u → + a v → = P M

  3. Mostre que P é invertível, com o que termina a prova, pois o resultado da parte (a) implica A = P M P - 1 . [Sugestão: se P não for invertível, então um de seus vetores caluna é múltiplo escalar real do outro, digamos v → = d u → .   Substituindo isso nas equações A u → = a u → + b v → e A v → = - b u → + a v →   obtidas na parte (a), mostre que 1 + d 2 b u → = 0 . Finalmente, mostre que isso leva a uma contradição, provando que P é invertível]

Passo 1

O Teorema 5.3.8 diz:

Seja A   uma matriz real 2 × 2 com autovalores complexos λ = a ± b i . Se x → for um autovetor de A associado a λ = a - b i então a matriz P = [ R e x →       I m x → ] é invertível e:

A = P ⋅ a - b b a ⋅ P - 1

Vamos dizer que:

M = a - b b a

Então, vamos encontramos os autovalores e autovetores de M

Passo 2

Para encontrar os autovalores usamos a expressão:

det ⁡ λ I - M = 0

λ - a b - b λ - a = 0

λ - a 2 + b 2 = 0

Resolvendo, encontramos os autovalores:

λ 1 = a - i b λ 2 = a + i b

Passo 3

λ 1 = a - i b . Então vamos encontrar o autovetor associado:

λ I - M x → = 0 →

λ 1 - a b - b λ 1 - a x 11 x 12 = 0 0

a - i b - a b - b a - i b - a x 11 x 12 = 0 0

- i b b - b - i b x 11 x 12 = 0 0

Resolvendo por Eliminação Gaussiana, podemos multiplicar a segunda linha por i :

- i b b - i b b x 11 x 12 = 0 0

Como a primeira e segunda linha são iguais podemos eliminar a segunda linha. Depois dividimos a primeira linha por b :

- i 1 0 0 x 11 x 12 = 0 0

Logo:

i x 11 = x 12

Se chamarmos x 11 de s :

x 11 = s x 12 = i s

O autovetor será:

x 1 → = 1 i s

Uma solução possível é quando s = 1 :

x 1 → = 1 i

Passo 4

λ 2 = a + i b . Então vamos encontrar o autovetor associado:

λ 2 - a b - b λ 2 - a x 21 x 22 = 0 0

a + i b - a b - b a + i b - a x 21 x 22 = 0 0

i b b - b i b x 21 x 22 = 0 0

Resolvendo por Eliminação Gaussiana, podemos multiplicar a primeira linha por i :

- b i b - b i b x 21 x 22 = 0 0

Como a primeira e segunda linha são iguais podemos eliminar a segunda linha. Depois dividimos a primeira linha por b :

- 1 i 0 0 x 21 x 22 = 0 0

Logo:

x 21 = i x 22

Se chamarmos x 21 de s :

x 21 = i s x 22 = s

O autovetor será:

x 2 → = i 1 s

Uma solução possível é quando s = 1 :

x 2 → = i 1

Passo 5

Vamos olhar para o altovetor x 1

O produto entre o autovalor λ 1 e o autovetor x 1 é:

λ x → = a - i b 1 i = a - i b i a + b

A questão nos diz como definir os vetores u → e v →

u → 1 = R e x 1 → = R e 1 i = 1 0 v → 1 = I m x 1 → = I m 1 i = 0 1

Então vamos calcular o produto A x → :

A x → = a u → 1 + b v → 1 + i - b u 1 → + a v 1 →

Podemos reorganizar os termos:

A x → = ( a - i b ) u 1 → + ( i a + b ) v 1 →

Aplicando os valores de u → 1 e v → 1

A x → = ( a - i b ) 1 0 + ( i a + b ) 0 1

A x → = a - i b i a + b

E demonstramos que:

A x → = λ x →

Passo 6

A matriz P é definida como:

P = u → | v → = 1 0 0 1

O produto P M é:

P M = 1 0 0 1   a b   - b a =   a b   - b a

E o produto AP é definido como:

A P = a u → + b v →     - b u → + a v →  

A P = a 1 0 + b 0 1     - b 1 0 + a 0 1  

A P = a 0 + 0 b     - b 0 + 0 a  

A P =   a b   - b a  

Isso demonstra que A P = P M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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