Enunciado

Segue do Teorema 5.3.7 que os autovalores da matriz de rotação

R ϕ = cos ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ   cos ⁡ ϕ

São λ = cos ⁡ ϕ ± i sen ⁡ ϕ . Prove que se x → for um autovetor associado a um desses autovalores, então R e x e I m ( x ) são ortogonais e têm o mesmo comprimento. [Nota: isso implica que P = [ R e ( x ) | I m x ] é um múltiplo escalar real de uma matriz ortogonal.]

Passo 1

A matriz de rotação R ϕ tem dois autovalores:

λ 1 = cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ λ 2 = cos ⁡ ϕ - i sen ⁡ ϕ

Então temos duas expressões para os autovetores:

I λ 1 - R ϕ x 1 → = 0 I λ 2 - R ϕ x 2 → = 0

Vamos expandir as duas equações:

Passo 2

Para o autovalor λ 1 :

cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ   cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ x 11 x 12 = 0 0

Simplificando a expressão:

i sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ   i sen ⁡ ϕ x 11 x 12 = 0 0

Colocamos o sen ⁡ ϕ   em evidência:

sen ⁡ ϕ ⋅ i 1 - 1 i x 11 x 12 = 0 0

Jogamos o seno por outro lado dividindo:

i 1 - 1 i x 11 x 12 = 0 0

Vamos resolver por eliminação Gaussiana. Se multiplicar a primeira linha por i teremos:

- 1 i - 1 i x 11 x 12 = 0 0

Como as duas linhas são iguais, podemos zerar a segunda linha:

- 1 i 0 0 x 11 x 12 = 0 0

Resolvendo:

- x 11 + i x 12 = 0

Logo:

x 11 = i x 12

Se chamarmos x 12 de s , teremos:

x 11 = s ⋅ i

x 12 = s

O autovetor será:

x 1 → = i 1 s

Uma solução é quando s = 1

v 1 → = i 1

Passo 3

Para o autovalor λ 2 :

cos ⁡ ϕ - i sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ   cos ⁡ ϕ - i sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ x 21 x 22 = 0 0

Simplificando a expressão:

- i sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ   - i sen ⁡ ϕ x 21 x 22 = 0 0

Vamos resolver por eliminação Gaussiana. Dividindo as duas linhas por sen ⁡ ϕ

- i 1 - 1 - i x 21 x 22 = 0 0

Multiplicamos a segunda linha por i

- i 1 - i 1 x 21 x 22 = 0 0

E eliminamos a segunda linha

- i 1 0 0 x 21 x 22 = 0 0

Logo:

i x 21 = x 22

Se chamarmos x 21   de s :

x 21 = s

x 22 = i ⋅ s

O autovetor será:

x 2 → = 1 i s

Uma solução possível é quando s = 1

x 2 → = 1 i

Passo 4

Vamos pegar como exemplo x 1 →

A componente real de x 1 → é:

R e x 1 → = R e i 1 = 0 1

E a componente complexo de x 1 →   é:

I m x 1 → = I m i 1 = 1 0

Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero:

R e x 1 → ⋅ I m x 1 → = 0 1 ⋅ 1 0 = 0 0

Isso demonstra que eles são ortogonais.

Agora vamos calcular o comprimento dos vetores.

R e x 1 → = 1 2 + 0 2 = 1

I m x 1 → = 0 2 + 1 2 = 1

E isso demonstra que os vetores têm o mesmo comprimento.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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