Enunciado

Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que λ 0 , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

  1. Prove que existe alguma base B = { u 1 → ,   u 2 → , … ,   u n → } de R n na qual os primeiros k vetores formam uma base do auto espaço associado a λ 0
  2. Seja P   a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os k primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
  3. A P = P λ 0 I k X 0 Y

  4. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a
  5. C = λ 0 I k X 0 Y

    a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

  6. Considerando  det ⁡ λ I - C ,   prove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator ( λ - λ 0 ) pelo menos k vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de λ 0 é maior do que ou igual à multiplicade geométrica k

Passo 1

Nós temos a seguinte matriz:

C = λ 0 I k X 0 Y

E a seguinte expressão:

A P = P λ 0 I k X 0 Y

Então vamos substituir:

A P = P C

E agora multiplicamos os dois lados por P - 1 :

P - 1 A P = P - 1 P C

P - 1 A P = C

E isso demonstra que A e C são matrizes semelhantes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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