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Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Capítulo 7.5 - Ex. 19

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Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

7 x 2 - 8 x y + y 2 + 3 6 = 0

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação no sistema de coordenadas para obter a equação de uma cônica sem o termo misto x y . Para isso, usamos que

a x 2 + 2 b x y + c y 2 = x y   a b b c   x y

A grande sacada do problema é que procuramos um sistema de coordenadas x ' y ' em que a matriz do meio é diagonal. Para isso, temos que diagonalizá-la!

Neste problema, a matriz pode ser escrita como

7 - 4 - 4 1

Passo 2

Vamos procurar os autovalores da matriz pela equação característica:

7 - λ - 4 - 4 1 - λ = 0

Assim,

7 - λ 1 - λ - 16 = 0 ⇒ 7 - 8 λ + λ 2 - 16 = 0 ⇒ λ 2 - 8 λ - 9 = 0

Logo,

λ 1 = - 1               e               λ 2 = 9

Note que neste problema não temos termos lineares em x e y . Desta forma, você não vai precisar escrever x e y como função de x ' e y ' , de modo que não precisamos procurar os autovetores! 😊

Passo 3

Assim, efetuando a rotação para o sistema x ' y ' , teremos

x ' y '   - 1 0 0 9   x ' y ' = - x ' 2 + 9 y ' 2

Assim, a equação da cônica é

- x ' 2 + 9 y ' 2 = - 36

Logo,

x ' 2 36 - y ' 2 4 = 1

Trata-se de uma hipérbole:

Resposta

x ' 2 36 - y ' 2 4 = 1

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