Enunciado

Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 6, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,

- 1 - λ 0 1 - 1 3 - λ 0 - 4 0 - 1 - λ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 1,99 ,

- 2,99 0 1 - 1 1,01 0 - 4 0 - 2,99 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- 2,99 x 1 + x 3 = 0 - x 1 - 1,01 x 2 = 0 - 4 x 1 - 2 , 99 x 3 = 0

Passo 2

Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,

x 3 = 2,99 x 1

x 2 = - 0,99 x 1

Passo 3

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

x 1 - 0,99 x 1 2,99 x 1

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 1,99 é,

1 - 0,99 2,99

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para os outros autovalores para finalizarmos a questão.

Para λ = - 0,49   + 0,86 i ,

- 0,51 - 0,86 i 0 1 - 1 3,49 - 0,86 i 0 - 4 0 - 0,51 - 0,86 i x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

( - 0,51 - 0,86 i ) x 1 + x 3 = 0 - x 1 + ( 3,49 - 0,86 i ) x 2 = 0 - 4 x 1 + ( - 0,51 - 0,86 i ) x 3 = 0

Resolvendo o sistema,

x 3 = ( 0,51 + 0,86 i ) x 1

x 2 = 1 3,49 - 0,86 i x 1

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = - 0,49   + 0,86 i é,

1 1 3,49 - 0,86 i 0,51 + 0,86 i

Para λ = - 0,49 - 0,86 i   ,

- 0,51 + 0,86 i 0 1 - 1 3,49 + 0,86 i 0 - 4 0 - 0,51 + 0,86 i x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

( - 0,51 + 0,86 i ) x 1 + x 3 = 0 - x 1 + ( 3,49 + 0,86 i ) x 2 = 0 - 4 x 1 + ( - 0,51 + 0,86 i ) x 3 = 0

Resolvendo o sistema,

x 3 = ( 0,51 - 0,86 i ) x 1

x 2 = 1 3,49 + 0,86 i x 1

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = - 0,49 - + 0,86 i é,

1 1 3,49 + 0,86 i 0,51 - 0,86 i

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Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.
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