Enunciado

Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 3, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com a matriz que já conhecemos, nesse primeiro caso teremos,

- 2 -   λ - 7 1 2 -   λ x 1 x 2 = 0 0

Para λ = 3 i ,

- 2 - 3 i - 7 1 2 - 3 i x 1 x 2 = 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

( - 2 - 3 i ) x 1 - 7 x 2 = 0 x 1 + ( 2 - 3 i ) x 2 = 0

Botando x 1 em evidência,

x 1 =   ( - 2 + 3 i ) x 2

Passo 2

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

( - 2 + 3 i ) x 2 x 2

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 3 i é,

- 2 + 3 i 1

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para o autovalor para finalizarmos a questão.

Para λ = - 3 i ,

- 2 + 3 i - 7 1 2 + 3 i x 1 x 2 = 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

( - 2 + 3 i ) x 1 - 7 x 2 = 0 x 1 + ( 2 + 3 i ) x 2 = 0

Botando x 1 em evidência,

x 1 =   ( - 2 - 3 i ) x 2

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

( - 2 - 3 i ) x 2 x 2

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = - 3 i é,

- 2 - 3 i 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de A =- 2 2 3 - 2 3 2 - 4 2 5 e use os Exercícios 23 e 24 para encontrar os autovalores e bases dos autoespaços de A - 1
Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de A =- 2 2 3 - 2 3 2 - 4 2 5 e use os Exercícios 23 e 24 para encontrar os autovalores e bases dos autoespaços dec) A + 2 I
Prove: se λ for um autovalor de uma matriz invertível com autovetor associado x , então 1 λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado x .
É verdadeira a recíproca do 7.2 . 2 b ? Explique
Às vezes, os autovetores que estudamos nesta seção são denominados autovetores à direita, para distingui-los de autovetores à esquerda, que são matrizes coluna x de tamanho n×1 que satisfazem a equaçã