Enunciado

Encontre bases dos seguintes subespaços de R 3

a o plano 3 x - 2 y + 5 z = 0

b o plano x - y = 0

c a reta x = 2 t ,   y = - t ,   z = 4 t

d Todos os vetores da forma a , b , c com b = a + c .

Passo 1

Vamos lá, primeira coisa que devemos reparar nesse exercício é que estamos trabalhando no R 3 , ou seja, o sistema de coordenadas nas três dimensões. Assim, nossos vetores da base todos terão o formato x , y , z . Sendo assim, analisando nosso primeiro caso temos 3 variáveis e uma equação apenas, logo, vamos precisar chamar 2 variáveis de alguma letra de tal forma que todas as soluções da equação irão depender dessas letras, então, temos

z = a ,   y = b → x = 2 y - 5 z 3 = 2 b - 5 a 3

Então comparando com o nosso vetor padrão da solução vamos ter

x , y , z = 2 b - 5 a 3 , b , a

x , y , z = - 5 a 3 , 0 , a + 2 b 3 , b , 0

x , y , z = a ⋅ - 5 3 , 0,1 + b ⋅ 2 3 , 1,0

Logo nossa base será: - 5 3 , 0,1 , 2 3 , 1,0 . Tranquilo, né?

Passo 2

Continuando com a mesma ideia vamos fazer para o segundo caso z = a para a equação dada temos

x - y = 0 → x = y = b

Comparando com o vetor padrão teremos

x , y , z = b , b , a = b ⋅ 1,1 , 0 + a ⋅ 0,0 , 1

Então, nossa base vai ser: 1,1 , 0 , 0,0 , 1 .

Passo 3

Nesse caso, temos que nossa reta é descrita por x = 2 t ,   y = - t ,   z = 4 t , na forma paramétrica, podemos reescrever essa reta como

x 2 + z 4 + 2 y = 0 → 2 x + z + 8 y = 0

Mas como já temos a equação toda parametrizada podemos comparar ao vetor padrão como sendo

x , y , z = 2 t , - t , 4 t = t ⋅ 2 , - 1,4

Essa será nossa base com a qual poderemos escrever todas as soluções do problema.

Passo 4

Por fim, nosso último item já está todo padronizado pois a equação que desejamos resolver é a seguinte

a , b , c = a , a + c , c

Fazendo a = x   e   c = z teremos

a , b , c = x ⋅ 1,1 , 0 + z ⋅ 0,1 , 1

E então essa é nossa última base do espaço solução descrito no problema e assim acabamos o nosso exercício.

Resposta

a - 5 3 , 0,1 , 2 3 , 1,0

b 1,1 , 0 , 0,0 , 1

c   2 , - 1,4

d   { 1,1 , 0 ,   0,1 , 1 }

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