Enunciado

Determinar o subespaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores:

p 1 = 1

p 2 = x

p 3 = x 2

Passo 1

O melhor jeito pra mexer com espaço vetorial e polinômios é associá-los a um vetor, fazendo assim: vamos associar o polinômio p = a x 2 + b x + c ao vetor v = ( a ,   b ,   c ) . Isso deixa a gente trabalhar com muita liberdade com o espaço vetorial. Usando essa idéia, vamos obter:

p 1 = 0 ,   0 ,   1

p 2 = 0 ,   1 ,   0

p 3 = ( 1 ,   0 ,   0 )

Passo 2

Agora, pra encontrar o espaço vetorial, lembra do seguinte: o espaço gerado pelos vetores são todas as combinações lineares que conseguimos fazer com eles! Daí, um polinômio qualquer desse espaço vai ser escrito assim:

p = k p 1 + m p 2 + n p 3

v = k v 1 + m v 2 + n v 3

a ,   b ,   c = k 0 ,   0 ,   1 + m 0 ,   1 ,   0 + n ( 1 ,   0 ,   0 )

Vamos ficar com o sistema:

a = n b = m c = k

Passo 3

Cara, esses coeficientes a , b e c são completamente livres! A gente tinha os coeficientes n , m e k da combinação linear, e eles são os coeficientes do polinômio. Por isso, se eles são livres, a gente pode percorrer o conjunto dos reais todinho com cada um deles. Bom, como temos três vetores, cada um percorrendo o conjunto dos reais, nós vamos dizer que o espaço gerado por eles é o R 3 todo. Mas a gente não tá tratando de vetores, né? A gente tá tratando de coeficientes de um polinômio. Como eles são coeficientes do polinômio de grau menor ou igual a 2 , e todos os coeficientes são livres, o nosso espaço gerado são todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 , que conhecemos como P 2 .

Resposta

P 2

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Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 2 ? u 1 =2 ,1 ,u 2 =3 ,0
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 2 ?c) u 1 =0 ,0 ,u 2 =1 ,3
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 3 ?c) u 1 =2 ,- 3 ,1 ,u 2 =4 ,1 ,1 ,u 3 = ( 0 ,- 7 ,1 )
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Em cada parte, explique em palavras por que os vetores dados não são uma base do espaço vetorial dado.b) u 1 =- 1 ,3 ,2 ,u 2 =( 6 ,1 ,1 ) paraR 3 .