Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema

- 5 - 10 6 5 x 1 x 2 =     - 10 19

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 x 21 1           e             U =   x 11 x 12 0 x 22

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 21 ,   x 22 podem ser quais quer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Nossa matriz é

- 5 - 10 6 5

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está o -1

Passo 3

Como foi dito, temos que zerar o 6 primeiro, mas como fazemos isso? Primeiro vamos ter que descobrir qual número vamos multiplicar pelo nosso pivô -5 para dar -6 (porque somando 6 + - 6 = 0 ), assim

- 5 α = - 6           →           α = 6 5

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos

- 5 - 10 6 5 × 6 / 5    

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o -5, multiplicamos por 6 5 e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

- 5 - 10 - 5 × 6 5 + 6 - 10 × 6 5 + 5 ∼ - 5 - 10 - 6 + 6 - 12 + 5 ∼ - 5 - 10 0 - 7

Logo, temos a matriz U!

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 x 21 1

Substituímos o x 21 pelo oposto do multiplicador, ou seja, o - 6 5

1 0 - 6 5 1

Passo 5

Para saber se está certo a resposta, veremos se

- 5 - 10 6 5 =   1 0 - 6 5 1 - 5 - 10 0 - 7

Assim, fazendo a multiplicação de matrizes teremos

- 5 - 10 6 5 =   1 × ( - 5 ) + 0 × 0 1 × ( - 10 ) + 0 × ( - 7 ) - 6 5 ( - 5 ) + 1 × 0 - 6 5 ( - 10 ) + 1 × ( - 7 )

- 5 - 10 6 5 = - 5 - 10 6 5

Assim, temos certeza eu as matrizes L e U estão corretas!

Passo 6

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

5 α = - 10       →       a = - 2

Logo, como -1 será o pivô, multiplicaremos da segunda para a primeira linha

- 5 - 10 6 5 ( 2 )

Assim

- 7 0 6 5

Passo 7

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

- 5 - 10 6 5 =   - 7 0 6 5 1 x 12 0 1

- 5 = ( - 7 ) × 1 + 0 × 0

- 10 = - 7   x 12 + 0 × 1  

6 = 6 × 1 + 5 × 0

5 = 6 x 12 + 5 × 1

Só que você consegue perceber que já na primeira equação, que -5 não é igual a -7? Logo, percebemos que o sistema proposto pelo exercício não é válido!

Passo 8

Finalmente resolvendo o sistema

- 5 - 10 6 5 =   1 0 - 6 5 1 - 5 - 10 0 - 7

Assim

- 5 - 10 6 5 x 1 x 2 =     - 10 19

- 5 - 10 | - 10 6 5 |         19   ∼ 1 2 |       2 6 5 | 19 ∼   1 2 |           2 0 1 | - 1 ∼   1 0 |           4 0 1 | - 1

Resposta

x 1 = 4

X 2 = - 1

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