Enunciado

Use o método do Exemplo 1 e a decomposição LU

  3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 4 =     3 0 0 2 4 0 - 4 - 1 2   1 - 2 - 1 0 1 2 0 0 1

Para resolver o sistema

3 x 1 - 6 x 2 - 3 x 3 = - 3

2 x 1                         + 6 x 3 = - 22

                  - 4 x 1 + 7 x 2 + 3 x 3 = 3

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1           e             U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 13   x 21 ,   x 22 ,   x 23 ,   x 31 ,   x 32   e   x 33 podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Como vamos resolver? Vamos pegar os valores de x 1 e x 2 e colocar em uma matriz:

3 x 1 - 6 x 2 - 3 x 3 = - 3

2 x 1                         + 6 x 3 = - 22

                  - 4 x 1 + 7 x 2 + 3 x 3 = 3

Então a nossa matriz é:

  3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 3

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está o 2, -4 e 7

Passo 3

O nosso pivô será o 3 da primeira linha, e temos que zerar com o 2 e o -4, então vamos pegar seus opostos (-2 e 4).

3 α = - 2           →           α = - 2 3

3 β = 4           →                   β = 4 3

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

  3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 3 × - 2 3

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o 3, multiplicamos por α = - 2 3 e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

  3 - 6 - 3 - 2 3 × 3 + 2 - 2 3 - 6 + 0 - 2 3 - 3 + 6 - 4 7 3

  3 - 6 - 3 0 4 8 - 4 7 3

Repetiremos agora da primeira linha pela terceira usando β = 4 3

  3 - 6 - 3 0 4 8 - 4 7 3 × 4 3

Assim

  3 - 6 - 3 0 4 8 3 × 4 3 - 4 4 3 - 6 + 7 4 3 - 3 + 3 ∼   3 - 6 - 3 0 4 8 0 - 1 - 1

E finalmente, usaremos 4 como pivô e o oposto de -1

4 γ = 1           →     γ = 1 4

Assim

  3 - 6 - 3 0 4 8 0 - 1 - 1 × 1 / 4

  3 - 6 - 3 0 4 8 0 1 4 × 4 - 1 1 4 × 8 - 1 ∼   3 - 6 - 3 0 4 8 0 0 1

Assim temos a matriz U

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1          

Substituímos o x 21 pelo oposto do multiplicador da primeira para a segunda linha, ou seja, o 2 3 .

E o mesmo raciocínio vale para x 31   e x 32 .

L = 1 0 0 2 3 1 0 - 4 3 - 1 4 1          

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

3 α = 3 → α = 1

3 β = - 6 → β = - 2

Logo, como 3 será o pivô, multiplicaremos por 1 da terceira para a primeira linha e por -2 a terceira para a segunda linha

  1 1 0 10 - 14 0 - 4 7 3

E

14 γ = 1 → γ = 1 14

Ficando assim

  12 7 0 0 10 - 14 0 - 4 7 3

Passo 6

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

  3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 3 =     12 7 0 0 10 - 14 0 - 4 7 3 1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Mas se você perceber que

12 7 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = 3

Ou seja, 12 7 é diferente de 3, ou seja, não é possível resolver as matrizes dessa forma.

Passo 7

Finalmente resolvendo o sistema

  3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 3 =   1 0 0 2 3 1 0 - 4 3 - 1 4 1     3 - 6 - 3 0 4 8 0 0 1

Assim

  3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 3 × x 1 x 2 x 3 =   - 3 - 22 3

3 - 6 - 3 |     - 3 2 0 6 | - 22 - 4 7 3 |                 3

Simplificando as linhas das matrizes temos

1 0 0 |               7 0 1 0 |               7 0 0 1 |     - 6

Resposta

x 1 = 7

x 2 = 7

x 3 =   - 6

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