Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.

  - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11 x 1 x 2 x 3 = - 6 - 3 9

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1           e             U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 13   x 21 ,   x 22 ,   x 23 ,   x 31 ,   x 32   e   x 33 podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

A matriz que vamos decompor em LU é

  - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar 3, -2 e -4.

Passo 3

O nosso pivô será o -1 da primeira linha, e temos que zerar com o 3, então vamos pegar seu oposto (-3), o mesmo raciocínio vale para o -4.

- 1 α = - 3 →   α = 3

- 1 β = 2 → α = - 2

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

  - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11 × 3

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos!

  - 1 - 3 - 4 3 × - 1 + 3 3 × - 3 + 10 3 × ( - 4 ) - 10 - 2 - 4 11 ∼ - 1 - 3 - 4 0 1 - 22 - 2 - 4 11  

E agora usando o beta para zerar

  - 1 - 3 - 4 0 1 - 22 - 2 - 1 - 2 - 2 - 3 - 4 ( - 2 ) - 4 + 1 1 ∼ - 1 - 3 - 4 0 1 - 22 0 2 19

E com 1 como pivô e o oposto de 2

1 γ = - 2           →     γ = - 2

Assim

- 1 - 3 - 4 0 1 - 22 0 2 19   - 2

  1 1 2 0 1 7 0 1 × - 2 + 2 ( - 22 ) - 2 + 1 9 ∼ - 1 - 3 - 4 0 1 - 22 0 0 63

Temos a matriz U!

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1          

Assim, entramos em outro sistema de equações:

1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1 - 1 - 3 - 4 0 1 - 22 0 0 63 =     - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11

Logo

- x 21 = 3 → x 21 = - 3

- x 31 = - 2 → x 31 = 2

- 3 x 31 + x 32 = - 4 → x 32 = 2

Substituímos os valores encontrados:

L = 1 0 0 - 3 1 0 2 2 1          

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

  - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11

11 α = 4 → α = 4 11

11 β = 10 → β = 10 11

Então

  3 11 49 1 1 0 13 11 7 0 1 1 0 - 2 - 4 1 1

7 0 1 1 = - 4 9 1 1 → γ = - 4 9 7 0

Ficando assim

  61 11 0 0 0 13 11 70 11 0 - 2 - 4 11

Passo 6

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

  - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11 =   61 110 0 0 13 11 70 11 0 - 2 - 4 11 1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Mas se você perceber que

6 1 110 ≠ - 1

Ou seja, não é possível resolver as matrizes dessa forma.

Passo 7

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 0 - 3 1 0 2 2 1   - 1 - 3 - 4 0 1 - 22 0 0 63 =     - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11

Assim

  - 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11 x 1 x 2 x 3 = - 6 - 3 9

- 1 - 3 - 4 | - 6 3 10 - 10 | - 3 - 2 - 4 11 |           9

Simplificando as linhas das matrizes temos

1 0 0 | - 1 0 1 0 |           1 0 0 1 |           1

Resposta

x 1 = - 1

x 2 = 1

x 3 =   1

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