Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 x 1 x 2 x 3 x 4 = 5 - 1 3 7

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1         e             U = x 11 x 12 x 13 x 14 0 x 22 x 23 x 24 0 0 x 33 x 34 0 0 0 x 44

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 13 ,   x 14 x 21 ,   x 22 ,   x 23 , x 24 ,   x 31 ,   x 32   e   x 33 ,   x 34 ,   x 41 , x 42 ,   x 43 ,   x 44 podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

A matriz que vamos decompor em LU é

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar 2, -1 e 1.

Passo 3

O nosso pivô será o -1 da primeira linha, e temos que zerar com o 2, então vamos pegar seu oposto (-2)

- 1 α = - 2 →   α = 2

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 × 2 ∼ - 1 0 1 0 0 3 0 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Agora, zerar o -1 com 3 de pivô

3 β = 1 → β 1 3

Ficando

- 1 0 1 0 0 3 0 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 1 3   ∼   - 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 1 5

E para 1

2 γ = - 1 → γ = - 1 2  

- 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 1 5   - 1 2 ∼   - 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 0 4

Então

U =   - 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 0 4

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1

Assim, entramos em outro sistema de equações:

1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1 - 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 0 4 =     - 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Logo

- x 21 = 2 → x 21 = - 2

x 31 = 0

x 41 = 0

3 x 32 = - 1 → x 32 = - 1 3

3 x 42 =   0

x 41 + 2 x 43 = 1 → x 43 = 1 2

Substituímos os valores encontrados:

L = 1 0 0 0 - 2 1 0 0 0 - 1 3 1 0 0 0 1 2 1

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5

5 α = - 6 → α = - 6 5

Então

- 1 0 1 0 2 3 - 16 5 0 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Agora

β = - 1

γ = 16 5

Ficando assim

- 1 0 0 0 2 3 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Passo 6

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 x 13 x 14 0 1 x 23 x 24 0 0 1 x 34 0 0 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 =   - 1 0 0 0 2 3 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1 5 1 x 12 x 13 x 14 0 1 x 23 x 24 0 0 1 x 34 0 0 0 1

Mas se você perceber que

x 12 = 0

x 13 = - 1

x 14 = 0

2 x 12 + 3 = 3 → x 12 = 0

- x 23 + 2 = 2 → x 23 = 0

3 x 24 =   6 → x 24 = 2

- x 24 + 2 x 34 = 0 → x 34 = 1

x 34 + 5 = 5 → 6 ≠ 5

Ou seja, não é possível resolver as matrizes dessa forma.

Passo 7

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 0 0 x 21 1 0 0 x 31 x 32 1 0 x 41 x 42 x 43 1 - 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 0 4 =     - 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Assim

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 x 1 x 2 x 3 x 4 = 5 - 1 3 7

- 1 0 1 0 |           5 2 3 - 2 6 | - 1 0 - 1 2 0 |           3 0 0 1 5 |           7

Simplificando as linhas das matrizes temos

1 0 0 0 | - 3 0 1 0 0 |           1 0 0 1 0 |           2 0 0 0 1 |           1

Resposta

x 1 = - 3

x 2 = 1

x 3 =   2

x 4 = 1

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