Enunciado

Encontre uma decomposição em valores singulares de

A = 1 1 1 1

Passo 1

Para encontrar os valores singulares de A , primeiro precisamos calculaar os autovalores de A T A .

Então vamos começar calculando o produto:

A T A = 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 2 2 2

Passo 2

Agora vamos calcular os autovalores:

det ⁡ λ I - A T A = 0

λ - 2 - 2 - 2 λ - 2 = 0

Resolvendo o determinante chegamos na expressão:

λ 2 - 4 λ = 0

E calculando as raízes da equação de segundo grau encontramos os autovalores:

λ 1 = 4 λ 2 = 0

Logo, os valores singulares são:

σ 1 = λ 1 = 2 σ 2 = λ 2 = 0

Passo 3

Agora vamos encontrar os autovetores unitários:

λ - A T A x → = 0

λ - 2 - 2 - 2 λ - 2 x 1 x 2 = 0 0

Para λ 1 = 4

2 - 2 - 2 2 x 1 x 2 = 0 0

Se escalonarmos a matriz da expressão por eliminação gaussiana chegamos em:

1 - 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Então:

x 1 - x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t : x 1 = t x 2 = t

O autovetor associado será:

x → = 1 1

Logo, o autovetor unitário será:

v 1 → = 1 / 2 1 / 2

Passo 4

Agora vamos calcular o autovetor associado à λ 2 = 0

- 2 - 2 - 2 - 2 x 1 x 2 = 0 0

Se escalonarmos a matriz da expressão por eliminação gaussiana chegamos em:

1 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Então:

x 1 + x 2 = 0

Se chamarmos x 1 = t : x 1 = t x 2 = - t

O autovetor associado será:

x → = 1 - 1

Logo, o autovetor unitário será:

v 2 → = 1 / 2 - 1 / 2

Passo 5

Finalmente, podemos calcular as colunas da matriz ortogonal U

u 1 = A v 1 → σ 1 = 1 1 1 1 ⋅ 1 / 2 1 / 2 2 = 1 / 2 1 / 2  

u 2 = A v 2 → σ 1 = 1 1 1 1 ⋅ 1 / 2 - 1 / 2 2 = - 1 / 2 1 / 2  

Passo 6

Agora, podemos calcular a decomposição de A em valores singulares:

A = U ⋅ Σ ⋅ V T

1 1 1 1 = u 1 u 2 σ 1 0 0 σ 2 v 1 → T v 2 → T

1 1 1 1 = 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 2 0 0 4 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2

Resposta

1 1 1 1 = 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 2 0 0 4 1 / 2 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2

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Mostre que os operadores F , G , H ∈ L R 2 dados por F ( x ,y )=( x ,2 y ) , G ( x ,y ) = ( y ,x+y ) e H ( x ,y )=( 0 ,x ) formam um conjuntoL . I em: L R 2 .
Sejam F ∈ L U ,V e G ∈ L V ,W tais que K e r ( F ) = o eK e r G ={ o } . Provar que K e r G ∙ F =o .
Seja F ∈ L R 2 o operador dado por F 1 ,0 =( 2 ,5 ) e F 0 ,1=( 3 ,4 ) . Verificar se são automorfismos do R 2 : G = I + F eH = I + F + F 2 .
Seja F : U → V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se { u 1 , … , u n } é uma base de U , então F u 1 , … , F u n é linearmente independente em V. Provar que F é injetora.
Verifique se são operadores lineares no espaço P n ( R ) : F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t , ∀ f t ∈ P n ( R ) ; F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t + t 2 f ' ' t , ∀ f t ∈ P n