Enunciado

(a) Dê um exemplo de uma matriz 3 × 3 cujo espaço coluna seja um plano pela origem no espaço tridimensional.

(b) Que espécie de objeto geométrico é o espaço nulo da matriz encontrada no item (a)?

(c) Que espécie de objeto geométrico é o espaço linha da matriz encontrada no item (a)?

Passo 1

Olá! Tudo bem? Resolveremos esta questão em 3 etapas.

(a) Neste item precisamos supor uma matriz 3 × 3 cujo espaço coluna seja um plano pela origem no espaço tridimensional. Então seja:

A = 2 0 0 0 2 2 2 2 2  

Essa matriz possui duas colunas linearmente independentes:

2 0 2     e     0 2 2

E a base do espaço coluna

x 1 x 2 x 3 = s 2 0 2 + t 0 2 2 = 2 s 2 t 2 s + 2 t

{ x 1 , x 2 , x 3 = 2 s , 2 t , 2 s + 2 t }

{ ( x 1 , x 2 , x 3 | 2 x 3 = 2 x 1 + 2 x 2 ) }

{ ( x 1 , x 2 , x 3 | x 1 + x 2 - x 3 = 0 ) }

Portanto, A é a matriz cujo espaço coluna é um plano através da origem no espaço tridimensional.

Passo 2

(b) Tomando a matriz sugerida no item (a), temos que o espaço nulo dessa matriz é a solução da equação A x = 0 .

2 0 0 0 2 2 2 2 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reduzindo a matriz para a forma escalonada:

1 0 0 0 1 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = 0

x 2 = - x 3

Temos que a solução da equação é x 1 = 0 e x 2 + x 3 = 0 , portanto, n u l A = 1 e o espaço nulo é uma reta que passa pela origem.

Passo 3

(c) Como o espaço linha é unidimensional, ele é uma reta que passa pela origem.

Resposta

(a)   A = 2 0 0 0 2 2 2 2 2

(b) Uma reta.

(c) Uma reta.

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