Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição

x² + y² + z² = 1

e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

9 x ²   +   4 y ²   +   3 z ²

Passo 1

Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho, primeiro vamos colocar a equação nesse formato aqui:

x T A x

Onde:

x = x 1 x 2   x 3

e A :

A = 9 0 0 0 4 0 0 0 3  

Na verdade cagamos pro x porque quem vai nos ajudar a matar a questão é a matriz A . Você pode estar se perguntando da onde eu tirei esse A , então vou explicar:

Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de x 2 , y 2 e z 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Isso quer dizer que a 11 = 9 , a 22 = 4 e a 33 = 3 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto x y , ou seja, 0 porque nem tem x y na nossa equação.

Passo 2

Bom pra matar essa questão precisamos de duas coisas: dos autovalores e dos autovetores da matriz A. Bom, como A é uma matriz vertical (só tem termos na vertical, o resto é tudo zero!!!) já sabemos nossos autovalores? Como? Simples! Numa matriz vertical os autovalores são os termos da vertical!!!

Então temos: λ 1 = 9                       λ 2 = 4                       λ 2 = 3

Passo 3

Muito bem, agora o próximo passo! Como é uma matriz vertical, os autovetores são:Autovetor v 1 associado ao λ 1 :

1 0 0

Autovetor v 2 associado ao λ 2 :

0 1 0 Autovetor v 3 associado ao λ 3 :

0 0 1

Passo 4

Muito bom!!! Como nosso maior autovalor é λ 1 = 9 , então ele será nosso máximo condicionado e como o nosso menor autovetor é λ 3 = 3 , ele será nosso mínimo condicionado!Então, bora pra resposta!

Resposta

Máximo condicionado é 9 e ocorre quando (x, y) = (1, 0, 0)Mínimo condicionado é 3 e ocorre quando (x,y) = (0, 0, 1)

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