Enunciado

Encontre a dimensão de cada um dos seguintes espaços vetoriais.

a O espaço vetorial de todas as matrizes de n × n diagonais;

b O espaço vetorial de todas as matrizes de n × n simétricas;

c O espaço vetorial de todas as matrizes de n × n triangulares superiores.

Passo 1

Desejamos encontrar a dimensão de cada um dos espaços vetoriais descritos no problema. Na prática, isso que significa que precisaremos encontrar com quantos vetores podemos escrever todo nosso espaço vetorial descrito, então, para o nosso primeiro caso vamos ter que como uma matriz diagonal tem apenas n entradas no total, a dimensão da matriz diagonal será igual ao quadrado do seu número de elementos diagonais que será n 2 .

Passo 2

Já para o nosso segundo caso vamos ter que para uma matriz simétrica onde temos A T = A dois elementos serão iguais para essa matriz e o número de todas essas combinações será igual a combinação C n , 2 onde

C n , 2 = n ! 2 ! n - 2 !   = n ⋅ n - 1 ⋅ n - 2 ! 2 ⋅ n - 2 ! = n + 1 ⋅ n ⋅ n - 1 ! 2 ⋅ n - 1 ! = n ⋅ n + 1 2

Passo 3

Por fim, para concluirmos nosso exercício temos que no último caso onde temos matrizes n × n triangulares superiores, a dimensão também será dada através da combinação de n escolhe 2 . Então, será dada por

n ⋅ n + 1   2

Resposta

a   n 2

b n ⋅ n + 1 2

c   n ⋅ n + 1 2

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