Enunciado

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Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de R 4 .

a Todos os vetores da forma a , b , c , 0

b Todos os vetores da forma a , b , c , d em que d = a + b e c = a - b .

c Todos os vetores da forma a , b , c , d em que a = b = c = d .

Passo 1

Vamos lá, primeira coisa que devemos reparar nesse exercício é que estamos trabalhando no R 4 , ou seja, o sistema de coordenadas em 4 dimensões. Assim, nossos vetores da base todos terão o formato x , y , z , w . Sendo assim, para o primeiro caso vamos ter

a , b , c , 0 = a , 0,0 , 0 + 0 , b , 0,0 + 0,0 , c , 0

a , b , c , 0 = a ⋅ 1,0 , 0,0 + b ⋅ 0,1 , 0,0 + c ⋅ 0,0 , 1,0

Sendo assim, conseguimos escrever todos os vetores no formato desejado usando apenas 3 vetores, então, a dimensão no nosso espaço vetorial é 3.

Passo 2

Para o nosso segundo caso vamos proceder de forma parecida com o anterior a diferença é que temos uma relação entre as variáveis, então, teremos

a , b , c , d = a , b , a - b , a + b

a , 0 , a , a + 0 , b , - b , b = a ⋅ 1,0 , 1,1 + b ⋅ 0,1 , - 1,1

Ou seja, com 2 vetores conseguimos escrever todo esse espaço vetorial, logo sua dimensão será 2.

Passo 3

Por fim, temos esse caso que é o mais simples de todos tendo em vista que todas as variáveis são iguais entre si então vamos obter o seguinte

a , b , c , d = a , a , a , a = a ⋅ 1,1 , 1,1

Portanto, com um vetor conseguimos fazer uma base para esse espaço vetorial com o formato que foi descrito no problema.

Resposta

a   d i m e n s ã o   3

b   d i m e n s ã o :   2

c   d i m e n s ã o :   1

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